Калькулятор дифракционной решётки

Период решётки	1,66667 мкм
Максимальный порядок	3

Где появится световой максимум

Оптический опыт с решёткой и зелёными световыми пятнами на экране

Дифракционная решётка содержит множество одинаково расположенных параллельных штрихов или щелей. Световые волны от соседних участков складываются: в одних направлениях усиливают друг друга, в других ослабляют. Для выбранной длины волны возникают главные максимумы. Их направления зависят от расстояния между штрихами и целого номера, который называют порядком максимума.

Калькулятор находит угол одного такого направления при перпендикулярном падении света на решётку. Угол отсчитывается от нормали к её поверхности, то есть от направления падающего луча в этом опыте. Ответ показывает модуль угла с одной стороны. Симметричный максимум с другой стороны находится под тем же углом в противоположном направлении.

Нулевой порядок расположен прямо по оси и даёт 0°. Первый и последующие порядки удаляются от оси. Некоторые запрошенные порядки не существуют: никакой физический угол не может выполнить условие усиления. Такой ответ помогает выбрать решётку или порядок наблюдения. Он отличается от ошибки в исходных данных, например отрицательной длины волны или дробного номера порядка.

Плотность штрихов и период решётки

В первое поле вводят число штрихов на миллиметр. Это плотность, а не расстояние между соседними штрихами. Период d равен обратной плотности. Например, 600 штр./мм означают d = 1/600 мм, или примерно 1,66667 мкм. Для периода в микрометрах нужно разделить 1000 на введённое число штрихов на миллиметр.

Если в условии указаны штрихи на сантиметр, сначала разделите их число на 10. Если даны штрихи на метр, разделите на 1000. Иногда написан общий счёт штрихов на всей пластинке: без ширины участка он ещё не сообщает плотность. Так, 12 000 штрихов на равномерном участке шириной 20 мм дают 600 штр./мм.

Длину волны вводят в нанометрах: 1 мкм = 1000 нм. Она относится к среде, где распространяется свет возле решётки. В обычном опыте в воздухе используют указанную длину волны источника. В другой среде частота сохраняется, а длина волны меняется; нельзя без поправки переносить воздушное значение в жидкость. Направление света при переходе границы сред помогает найти закон Снеллиуса.

Формула угла и последний возможный порядок

d \sin\theta = m\lambda

Разность хода от соседних штрихов равна d sinθ. Когда она составляет целое число длин волн mλ, волны приходят в одной фазе и создают главный максимум. Поэтому угол находят через обратный синус отношения mλ/d. Период и длина волны должны быть выражены в одинаковых единицах. Форма самостоятельно переводит нанометры и плотность штрихов в согласованный масштаб.

Синус не превышает единицы, поэтому должно выполняться mλ ≤ d. Разделите d на λ и возьмите целую часть: получится максимальный порядок с одной стороны. При 600 штр./мм и 550 нм отношение равно примерно 3,0303, значит доступны порядки 0, 1, 2 и 3. У четвёртого отношение mλ/d уже равно 1,32, и угол найти невозможно.

Равенство mλ = d даёт предельные 90°. Это направление вдоль поверхности решётки, а не обычное пятно на экране за ней. Экран, стоящий поперёк оси на конечном расстоянии, такой луч не перехватит. Максимальный порядок здесь включает математическую границу; число реально наблюдаемых пятен зависит ещё от расположения экрана и интенсивности света.

Как выбрать решётку и место наблюдения

Учебный опыт с зелёным светом. Для 600 штр./мм, 550 нм и первого порядка получаем 19,2688°. Второй максимум находится под 41,2999°, третий под 81,8904°. Видно, что равные шаги номера не дают равных шагов угла: ближе к предельному направлению угол растёт быстрее. Номер пятна нельзя просто умножить на угол первого порядка.

Разнести синий и красный участки спектра. На решётке 300 штр./мм первый порядок для 450 нм даёт 7,75862°, для 650 нм 11,2447°. Красный свет отклоняется сильнее, разность углов около 3,48610°. Это позволяет оценить расположение двух участков спектра, но ещё не определяет, удастся ли прибору разделить две близкие линии.

Поместить экран для второго порядка. При 600 штр./мм и 550 нм угол второго порядка равен 41,2999°. Если плоский экран перпендикулярен оси и стоит в 2 м от решётки, расстояние от центрального пятна составляет y = 2 tanθ ≈ 1,75704 м. Ширины небольшого экрана может не хватить. При таком угле приближение y ≈ Lθ заметно ошибается, поэтому нужен тангенс.

Прочитать плотность в других единицах. В условии даны 10 000 штр./см, длина волны 500 нм и первый порядок. В форму вводят 1000 штр./мм. Период равен 1 мкм, sinθ = 0,5, угол 30°. Если ошибочно ввести 10 000, первый порядок окажется невозможным: потерянный перевод сантиметров изменил результат в десять раз.

Проверить отсутствующее пятно. Для 600 штр./мм, 550 нм и четвёртого порядка результат «Не существует». Максимальный порядок остаётся равным 3, период примерно 1,66667 мкм. Искать четвёртое пятно дальше на том же экране бессмысленно в этой модели. Можно выбрать меньший порядок, меньшую плотность штрихов или другую длину волны, если условия опыта это допускают.

Выбрать решётку для инфракрасного света. При 1550 нм и 300 штр./мм первый порядок существует под углом 27,7102°, максимальный порядок равен 2. Решётка с 1200 штр./мм для той же длины волны не даёт даже первого порядка: период около 833,333 нм короче самой волны. Большая плотность полезна не для любого спектрального диапазона. Сопоставить эту длину волны с энергией частицы поможет энергия одного фотона.

Что угол говорит о реальном опыте

Число в градусах описывает положение главного максимума, но не его яркость. Профиль штриха, ширина щели, материал и число освещённых участков меняют распределение интенсивности. Разрешённый порядок может быть слабым или подавленным. Наличие математического направления не гарантирует, что пятно видно выбранному датчику.

Модель предполагает одинаковый период, монохроматическую волну и нормальный вход. Широкий спектр даёт разные углы для разных длин волн. Наклон падения меняет условие разности хода и нарушает привычную симметрию. Для точного спектрометра дополнительно нужны геометрия оптики, размеры щелей, характеристики решётки и погрешности измерения.

Дифракция круглого отверстия решает другую задачу: вместо ряда порядков она создаёт центральное пятно с кольцами. Его размер на матрице оценивает дифракционный предел объектива. Здесь же результат зависит от регулярного периода штрихов. Шесть значащих цифр на экране удобны для сравнения расчётов, но не превращают приблизительно известные 600 штр./мм в точное измерение.

Вопросы о порядках и спектре

В измерительном опыте важно учитывать обе стороны спектра, наложение цветов и геометрию падающего луча. Эти условия могут изменить интерпретацию рассчитанного угла.

Сколько всего направлений главных максимумов получится?

При максимальном порядке M формально получается 2M+1 направлений: по M с каждой стороны и одно центральное. Например, M=3 даёт семь. Если крайний порядок соответствует ровно 90°, это предельное направление вдоль решётки; на обычном поперечном экране оно не образует пятна. Интенсивность тоже может ограничить наблюдаемое число.

Могут ли разные цвета попасть в одно место?

Да, когда произведения mλ совпадают. Первый порядок 600 нм и второй 300 нм направлены под одинаковым углом для одной решётки. Такой эффект называют наложением порядков; в спектральных приборах ненужный диапазон отсеивают подходящими фильтрами. Совпадение положения не означает одинаковую энергию фотонов.

Как найти неизвестную длину волны по измеренному углу?

При известном ненулевом порядке используйте λ=d sinθ/m. Например, решётка 1000 штр./мм имеет период 1000 нм; первый максимум под 30° соответствует 500 нм. Для центрального порядка m=0 угол всегда нулевой, поэтому длину волны по нему определить нельзя.

Можно ли по углу узнать, разделятся ли две близкие линии?

Одного положения недостаточно. Для идеальной равномерно освещённой решётки оценка разрешающей способности R=λ/Δλ=mN использует общее число освещённых штрихов N. При m=1 и N=10 000 идеальная оценка около 500 нм даёт Δλ≈0,05 нм. Реальные щели, оптика и датчик могут ухудшить результат.

Подходит ли расчёт для отражательной решётки?

При нормальном падении и корректно выбранной нормали условие для модуля угла главного порядка имеет ту же форму. Но направление отражённого света находится на стороне падения, а эффективность зависит от профиля поверхности. Для наклонного входа и решётки со специальным углом штриха нужна соответствующая геометрия прибора.

Что изменится, если луч падает наклонно?

В разность хода добавляется вклад направления входящего луча. Поэтому формулу только с d sinθ применять нельзя. При α=20° центральный порядок уже не расположен на нормали: для проходящей решётки без изменения среды он продолжает направление входа. Знаки углов в общем уравнении выбирают по одной согласованной геометрии.

Почему угол особенно чувствителен возле 90°?

Производная arcsin(q) равна 1/√(1−q²), поэтому при q близком к 1 небольшая погрешность резко меняет угол. Например, q=0,99 даёт около 81,8904°, а q=0,999 около 87,4374°. Разница исходного отношения меньше 1%, а угла больше 5°. Возле границы сравнивайте запас по mλ≤d и точность исходных измерений.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.