Калькулятор третьей стороны треугольника

Как найти третью сторону без прямого замера

Раскрытый циркуль с нитью между концами ножек показывает третью сторону треугольника

Третья сторона треугольника находится по двум сторонам и внутреннему углу между ними. Например, для сторон по 5 см и угла 60° ответ равен 5 см. Этот набор однозначно задаёт фигуру, поэтому можно также найти два оставшихся угла, площадь и периметр.

Представьте две линейки, соединённые концами. Пока шарнир свободен, расстояние между другими концами меняется. Зафиксируйте раскрытие, и расстояние тоже станет определённым. Теорема косинусов позволяет найти его без третьей линейки: достаточно длин двух отрезков и угла их раскрытия.

Так считают недостающую грань шаблона, расстояние между точками на двух лучах и диагональ фигуры с известным углом. Метод работает для прямых отрезков в одной плоскости. Длина дуги, расстояние по извилистой тропинке или размер кривой границы вместо стороны для него не подходят.

Какой именно угол нужен

В форме заданы стороны a и b и угол C. Этот угол находится у их общего конца, а искомая сторона c лежит напротив. Поэтому название «угол между сторонами» нужно понимать буквально: обе известные стороны должны образовывать его границы.

Если известен угол напротив одной из введённых сторон, задача другая. В ней иногда получаются два треугольника, а иногда ни одного. Для такого набора нужен расчёт по двум сторонам и противолежащему углу. Подставлять этот угол на место C нельзя, даже если на маленьком рисунке разница кажется несущественной.

Угол должен быть больше 0° и меньше 180°. При нуле стороны направлены вдоль одной прямой в одну сторону, при 180° в противоположные стороны. В обоих случаях замкнутой области внутри нет. Для положительных длин и допустимого внутреннего угла обычный треугольник существует и единственен с точностью до поворота и отражения.

В плане маршрута часто указан поворот движения, а не внутренний угол треугольника. Если после первого отрезка человек повернул на 60° от прежнего направления, внутренний угол у точки поворота равен 120°. Линия назад к старту противоположна прежнему направлению движения. Сначала нарисуйте эти лучи, иначе можно рассчитать совсем другое расстояние.

Формула третьей стороны

Теорема косинусов учитывает две длины и то, насколько широко разошлись отрезки. Для неизвестной стороны c она даёт:

c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}

В выражении a и b обозначают известные стороны, C внутренний угол между ними. Вначале вычисляется число под корнем, затем берётся положительный квадратный корень. Отрицательный корень для длины не нужен. Все длины должны быть в одной единице, а угол при ручной проверке в режиме DEG, то есть в градусах.

Возьмём a = 5 см, b = 5 см, C = 60°. Косинус 60° равен 0,5. Под корнем получаем 25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0,5 = 25. Корень из 25 равен 5 см. Все стороны оказались равны, поэтому два оставшихся угла тоже равны 60°.

Если C = 90°, косинус равен нулю. Последнее слагаемое исчезает, и остаётся знакомое равенство c² = a² + b². Теорема Пифагора здесь оказывается частным случаем более общей формулы. При остром угле c меньше соответствующей прямоугольной диагонали, при тупом больше.

После нахождения c известны все три стороны. Оставшиеся углы можно восстановить по той же теореме косинусов, а затем проверить их сумму: A + B + C = 180°. Если C тупой, оба остальных угла обязательно острые. Больше одного прямого или тупого угла у невырожденного плоского треугольника не бывает.

Проверка результата до округления

Третья сторона всегда больше разности двух известных длин по модулю и меньше их суммы:

|a-b|<c<a+b

Для сторон 2 и 3 м допустимый ответ лежит строго между 1 и 5 м. Угол, близкий к нулю, приближает сторону к 1 м; угол, близкий к 180°, к 5 м. Ровно крайние значения означали бы распрямлённую фигуру и не входят в допустимый диапазон.

При неизменных a и b третья сторона увеличивается вместе с внутренним углом. У 2 и 3 м с углом 60° она равна примерно 2,6458 м, а с углом 120° уже 4,3589 м. Если после увеличения угла у вас получилась меньшая сторона, проверьте, какой именно угол введён и не переключён ли ручной калькулятор в радианы.

Площадь ведёт себя иначе: она максимальна при 90°, а затем уменьшается. Для дополнительных результатов используются выражения:

S=\frac{ab\sin C}{2},\qquad P=a+b+c

Здесь S площадь, P периметр. Углы 60° и 120° имеют одинаковый синус, поэтому при сторонах 2 и 3 м оба дают площадь около 2,5981 м². Третьи стороны при этом разные. По одной площади нельзя выбрать форму детали или узнать, насколько далеко разошлись её концы. Если нужен именно расход плоского материала, используйте расчёт площади по двум сторонам и углу.

Расстояния, шаблоны и раскрытие деталей

Каждый пример начинается с двух длин и угла у их общего конца. Отдельно проверяйте единицы: сантиметровый макет и метровый объект рассчитываются одинаково, но результат должен остаться в масштабе исходных чисел.

Недостающий край треугольного шаблона

На листе отложены две стороны по 5 см с углом 60° между ними. Третья сторона равна 5 см, периметр 15 см, площадь примерно 10,8253 см². Получается равносторонняя деталь. Можно замкнуть её третьим отрезком той же длины и проверить транспортиром остальные вершины: там тоже должно быть по 60°. Само по себе равенство первых двух сторон такого вывода не даёт, решающее условие здесь именно угол.

Диагональ прямоугольного фрагмента

Два перпендикулярных края имеют длину 3 и 4 м. Для угла 90° расчёт даёт третью сторону 5 м. Она соединяет свободные концы краёв и служит диагональю прямоугольника. Площадь полученного треугольника 6 м², то есть половина площади прямоугольника 3 × 4. Если работа сводится только к прямым углам, удобнее отдельный калькулятор диагонали прямоугольника.

Соединение двух отметок на плане

От общей точки проведены лучи с углом 60°. На одном отмечено расстояние 80 см, на другом 120 см. Между отметками получается 105,8301 см. Для грубой разметки это около 1,058 м, а не сумма 2 м: сумма описывала бы путь через общую вершину. Если соединительная деталь должна идти прямо от одной отметки до другой, нужен именно найденный третий отрезок. Припуски на крепления рассчитывают отдельно.

Прямая вместо пути с поворотом

Учебный маршрут состоит из двух прямых участков по 12 и 18 м, а поворот от прежнего направления равен 60°. Внутренний угол треугольника поэтому составляет 120°. Расстояние по прямой от начала до конца равно 26,1534 м, тогда как пройденный путь равен 30 м. Разница около 3,85 м показывает выигрыш прямого соединения в этой модели. В реальности такая прямая может пересекать препятствие, расчёт расстояния ещё не делает её проходимой.

Расстояние между концами одинаковых рычагов

Два идеализированных отрезка длиной по 2 м раскрыты на 30°. Их свободные концы разделяет примерно 1,0353 м, два угла у основания равны по 75°. Это позволяет оценить габарит раскрытой модели по осевым длинам. Толщина реальных деталей, смещение шарнира и форма наконечников сюда не входят. Для проверки на бумаге удобно нарисовать уменьшенную копию: при сторонах по 20 см расстояние станет около 10,35 см.

Прямая перемычка внутри окружности

Два радиуса по 1 м образуют центральный угол 10°. Отрезок между их концами называется хордой. Его длина составляет 0,17431 м, или около 17,43 см. Для короткой перемычки нужен этот прямой размер, а не длина дуги. Дуга при тех же данных равна примерно 17,45 см: различие пока небольшое, но оно растёт при увеличении угла. У полукруга хорда равна двум радиусам, а дуга заметно длиннее.

Как не потерять точность при замере

Обе стороны измеряйте от одной и той же геометрической вершины. У шарнирного механизма это обычно ось соединения; у чертежа точка пересечения линий. Если одну длину взять от центра шарнира, а вторую от края корпуса, угол и расстояния будут относиться к разным фигурам.

Для почти совпадающих лучей небольшая ошибка угла может заметно изменить короткую третью сторону. Это особенно видно при равных a и b: при угле, стремящемся к нулю, расстояние между концами тоже стремится к нулю. Округлять небольшой угол до целого градуса до вычисления в таком случае рискованно.

Промежуточный косинус тоже не стоит округлять до одного-двух знаков. Сначала вычислите выражение полностью, а окончательную длину округлите под точность исходного инструмента. Число с четырьмя знаками после запятой удобно для сравнения примеров, но рулетка с миллиметровыми делениями не превращается от этого в лабораторный прибор.

Калькулятор помогает восстановить геометрию, но не выбирает прочность соединения или безопасную нагрузку. Для карт, землемерных измерений и крупных расстояний также нужно различать прямые, проекции и дуги поверхности. Приведённая формула описывает обычный треугольник на плоскости.

Вопросы о двух сторонах и угле между ними

Чаще всего результат искажают формат угла, неверно выбранная вершина или смешанные единицы. Несколько отдельных случаев помогают отличить третью сторону от похожих величин: пути, дуги и диагонали с другим направлением.

Нужна ли высота, чтобы найти третью сторону?

Нет. Двух положительных сторон и внутреннего угла между ними достаточно. Высота может пригодиться для независимой проверки площади, но в формулу третьей стороны она не входит. Для одной и той же пары сторон разные допустимые углы задают разные третьи стороны.

Как ввести угол 30 градусов 15 минут?

Переведите минуты в долю градуса: 15 / 60 = 0,25. Введите 30,25°. Если указаны ещё секунды, разделите их на 3600 и прибавьте к значению. Запись 30,15° обозначает другой угол, она соответствует 30°9′.

Что делать с углом в радианах?

Умножьте его на 180 и разделите на π. Например, π/3 радиана равны 60°, а π/2 равны 90°. В поле этой страницы вводятся градусы. Число 1 без перевода будет прочитано как 1°, а не как один радиан.

Как найти диагональ параллелограмма по сторонам и углу?

Для стороны c между свободными концами двух соседних сторон используйте их внутренний угол. Для второй диагонали подставьте угол, дополняющий его до 180°. Например, стороны 2 и 3 при угле 60° дают диагонали примерно 2,6458 и 4,3589. При прямом угле диагонали становятся равными.

Почему отрицательный косинус увеличивает ответ?

В формуле перед произведением 2ab cos C стоит минус. Для тупого угла косинус отрицательный, поэтому вычитание отрицательного числа превращается в сложение. Это соответствует рисунку: при широком раскрытии концы известных сторон дальше друг от друга.

Можно ли получить третью сторону длиннее суммы известных?

Нет, у невырожденного треугольника она строго меньше суммы. Путь через общую вершину длиннее прямого соединения концов. Если ручной расчёт дал обратное, проверьте скобки под корнем, знак перед косинусом и одинаковые единицы длин.

Когда вместо общей формулы можно использовать более короткую?

При равных сторонах a = b третья сторона равна 2a sin(C/2). Например, для двух радиусов это формула хорды. При угле 90° используется теорема Пифагора. Обе записи дают тот же результат, что и общая теорема косинусов, при соблюдении своих условий.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

Сторона c:	5 см
Угол A:	60°
Угол B:	60°
Площадь:	10,82531755 см²
Периметр:	15 см