Калькулятор силы Стокса

Сопротивление медленно движущемуся шарику

Рука держит металлический шарик над широким сосудом с жидкостью; другой шарик погружён вдали от стенок

Для шарика радиусом 0,5 мм, движущегося относительно жидкости со скоростью 10 мм/с, при динамической вязкости 1000 мПа·с сила Стокса составляет около 94,2478 мкН. Это 0,0000942478 Н. Если радиус увеличить до 1 мм при прежних вязкости и скорости, расчёт даст 188,496 мкН: вдвое больше.

Калькулятор находит модуль сопротивления твёрдому сферическому телу при медленном обтекании ньютоновской жидкостью. Сопротивление направлено против движения шарика относительно среды. Метод подходит для ползучего течения, когда инерционные эффекты малы по сравнению с вязкими, а стенки сосуда достаточно далеко. Маленький предмет и небольшая скорость сами по себе ещё не подтверждают эти условия.

Ответ относится к одной силе. Вес шарика, выталкивающая сила и воздействие подвеса сюда не входят. Поэтому результат не сообщает, с какой скоростью шарик будет падать или всплывать. Для этого требуется баланс всех действующих сил.

Вязкость, радиус и скорость относительно жидкости

Нужна динамическая вязкость μ в миллипаскаль-секундах. Один мПа·с равен 0,001 Па·с; 1000 мПа·с соответствуют 1 Па·с. Сантипуаз, сП, численно равен мПа·с. Кинематическая вязкость в мм²/с или сантистоксах является другой величиной: подставлять её число в это поле без учёта плотности нельзя.

Для чистой воды можно отдельно рассчитать вязкость при известной температуре. Для другой среды нужны её собственные данные. Начальные 1000 мПа·с служат условием примера, а не универсальным свойством масла или любой густой жидкости. Название материала не заменяет измерение или справочное значение.

Размер вводится как радиус в миллиметрах. Если прибор или условие задачи сообщает диаметр, разделите его на два. Размер 100 мкм переводится в 0,1 мм; если это диаметр, нужный радиус равен 0,05 мм. Форма предполагает именно сферу: для вытянутой частицы один поперечный размер не определяет сопротивление.

Скорость берётся относительно невозмущённой жидкости, вдали от шарика. Когда жидкость неподвижна, можно использовать скорость шарика относительно сосуда. Если среда течёт, её движение нужно учесть. Знак в поле не задаёт направление: здесь вводится неотрицательный модуль разности скоростей. Вязкость и радиус должны быть строго положительными; относительная скорость может равняться нулю.

Формула и единицы микроньютона

\displaystyle F=6\pi\mu rv

В СИ μ выражается в Па·с, r в метрах, v в м/с, а F получается в ньютонах. Каждый из трёх входов формы переводится множителем 0,001. После вычисления сила переводится в микроньютоны: 1 мкН = 10⁻⁶ Н. Для чисел из полей это даёт F = 6π·μ·r·v·0,001 в мкН.

Удвоение любой одной величины удваивает силу, если остальные сохраняются. Например, это позволяет сравнивать сопротивление при двух заданных скоростях, но не доказывает, что свободно падающий более крупный шарик движется с той же скоростью. В таком опыте размер меняет и сопротивление, и вес, и выталкивающую силу.

Измерение размера, движения и сравнение сред

Пример 1. Измерен диаметр. Диаметр шарика составляет 0,4 мм, поэтому r = 0,2 мм. При μ = 500 мПа·с и v = 5 мм/с получаем 9,42478 мкН. Если ввести 0,4 как радиус, выйдет 18,8496 мкН. Это ошибка исходного размера, а не различие методов расчёта; сначала определите, что измерено.

Пример 2. Скорость найдена по записи опыта. Шарик прошёл 1,2 мм за 0,3 с в неподвижной жидкости. При приблизительно равномерном движении v = 4 мм/с. Для μ = 1000 мПа·с и r = 0,5 мм ответ равен 37,6991 мкН. В поле скорости вводятся 4 мм/с, а не время 0,3 с и не расстояние 1,2 мм.

Пример 3. Жидкость тоже движется. Относительно лаборатории шарик движется со скоростью 6 мм/с, жидкость в том же направлении со скоростью 2 мм/с. Их относительная скорость равна 4 мм/с. При μ = 1000 мПа·с и r = 0,5 мм сопротивление 37,6991 мкН. Подстановка лабораторных 6 мм/с дала бы 56,5487 мкН и завысила результат на 50%.

Пример 4. Радиус дан в микрометрах. Для шарика радиусом 50 мкм нужны 0,05 мм. При заданной μ = 1200 мПа·с и v = 0,2 мм/с получаем 0,226195 мкН, или около 226,195 нН. Такое маленькое число не означает отсутствие сопротивления. Проверьте единицу результата прежде сравнения с другой силой.

Пример 5. Две жидкости при одинаковом движении. Для r = 0,4 мм и v = 3 мм/с среда с заданной μ = 250 мПа·с даёт 5,65487 мкН. При μ = 1500 мПа·с ответ 33,9292 мкН. Шестикратная вязкость дала шестикратное сопротивление. Для чистого сравнения сохранены размер и скорость; эти условные μ не определяют название или температуру жидкости.

Пример 6. Проверка размера под заданную силу. При требуемых 30 мкН, μ = 800 мПа·с и v = 5 мм/с обратная формула даёт r ≈ 0,397887 мм. Диаметр около 0,795775 мм. Подставьте радиус в форму: получится примерно 30 мкН. Это проверка геометрического условия, а не прогноз скорости свободного падения.

Когда приближение Стокса применимо

Для сферы число Рейнольдса можно записать как Re = ρv(2r)/μ с величинами в СИ. В качестве характерного размера здесь взят диаметр. Условие ползучего течения означает Re ≪ 1. Например, для начальных данных и дополнительно заданной плотности 1000 кг/м³ получается Re = 0,01. При другой плотности или скорости проверка меняется.

Форма не запрашивает плотность и не проверяет Re автоматически. Нельзя переносить сюда границы ламинарного и турбулентного течения в круглой трубе: у обтекания шарика другая задача. Ламинарность сама по себе не гарантирует, что инерцией можно пренебречь настолько, чтобы пользоваться формулой Стокса.

Модель также предполагает обычную ньютоновскую среду, твёрдую сферу и отсутствие скольжения жидкости на её поверхности. Близкие стенки, свободная поверхность или соседние частицы меняют картину обтекания. Неизвестную поправку нельзя заменить уменьшением вязкости на глаз. При резком ускорении или деформируемом теле одной стационарной формулы тоже недостаточно.

Если шарик падает, отдельно учитывается сила Архимеда. Если его перемещают равномерно на известное расстояние в неподвижной жидкости, затраченную против постоянного сопротивления механическую работу можно найти как F·s. Сила и работа имеют разные единицы и отвечают на разные вопросы об опыте.

Шесть значащих цифр помогают сверить арифметику, но не обещают такой же точности измерения. Ошибка радиуса, скорости или вязкости прямо влияет на ответ. Очень малые ненулевые результаты выводятся в научной записи; непредставимый итог вызывает ошибку. Нулевая относительная скорость даёт нулевое сопротивление этой модели, сохраняя остальные действующие силы.

Векторы скорости, измерение силы и баланс

При переходе от сопротивления к измерению вязкости или движению шарика появляются дополнительные условия. Важно выделить нужную силу и сохранить определение относительной скорости.

Как перейти от кинематической вязкости к динамической?

Нужна плотность: μ = ρν в согласованных единицах. Если ν дана в мм²/с, а ρ в кг/м³, то μ в мПа·с равна ρν/1000. Например, ν = 100 мм²/с и ρ = 900 кг/м³ дают 90 мПа·с. Само число 100 без плотности нельзя перенести в поле динамической вязкости.

Что делать, если шарик и жидкость движутся под углом?

Вычитайте скорости как векторы, затем берите модуль разности. Например, взаимно перпендикулярные скорости 3 и 4 мм/с дают относительную скорость 5 мм/с, а не 1 мм/с. Для произвольного угла нужна геометрия направлений. Простое вычитание модулей подходит только для движения вдоль одной линии в одинаковую сторону.

Два одинаковых шарика испытывают вдвое большую силу?

Если шарики далеко друг от друга и имеют одинаковые радиус, вязкость среды и относительную скорость, сумма модулей их независимых сопротивлений равна 2F. Это не сопротивление одного шарика двойного объёма. При тесном расположении возникает гидродинамическое взаимодействие; калькулятор одной сферы его не описывает.

Как связано сопротивление с установившимся падением?

При установившемся падении сумма сил равна нулю. Например, вес 120 мкН и направленная вверх сила Архимеда 40 мкН требуют сопротивления 80 мкН вверх. Чтобы найти соответствующую скорость, нужны свойства шарика и жидкости, а не только введённая сила. Ответ формы сам по себе не подтверждает, что равновесие уже достигнуто.

Почему большой шарик нельзя сравнивать с малым только по сопротивлению?

У сфер из одинакового материала вес пропорционален кубу радиуса, а сопротивление при заданной одинаковой скорости пропорционально радиусу. Удвоенный радиус означает восьмикратный вес и двукратное сопротивление. Поэтому равномерное движение после отпускания требует нового баланса; скорость не остаётся автоматически прежней.

Можно ли определить вязкость по измеренной силе?

В той же модели μ = F/(6πrv). Например, сопротивление 18,8496 мкН при радиусе 0,2 мм и скорости 5 мм/с соответствует примерно 1000 мПа·с. Из измерения нужно выделить именно сопротивление. Полное показание подвесных весов может включать вес и выталкивающую силу, а близость стенок требует отдельного учёта.

Как найти мощность, расходуемую против сопротивления?

При равномерном перемещении через неподвижную жидкость мощность потерь равна Fv. Для силы 20 мкН и скорости 2 мм/с это 40 нВт: сначала переведите силу и скорость в СИ. Результат не равен полной мощности двигателя, поскольку другие нагрузки и потери здесь не учитываются.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.