Калькулятор пружинного маятника

Частота колебаний	1,00658 Гц

Как быстро колеблется груз на пружине

Наблюдатель измеряет период движения груза на горизонтальной пружине

Пружинный маятник состоит из груза и пружины, которая возвращает его к положению равновесия. Период показывает время одного полного колебания. Для массы 0,5 кг и жёсткости 20 Н/м он составляет примерно 0,993459 с. Если начать отсчёт в крайнем положении, полный цикл закончится после возвращения в то же крайнее положение. Движение только до противоположного края занимает половину периода.

Калькулятор находит период по массе и жёсткости, а также решает обратные задачи. Выберите в списке искомую величину и введите две известные. Масса задаётся в килограммах, жёсткость в ньютонах на метр, период в секундах. Дополнительный ответ, частота, показывает число полных колебаний за секунду. Для исходного примера она равна 1,00658 Гц.

Формула периода и два обратных расчёта

Обозначим массу движущегося груза буквой m, жёсткость пружины буквой k, а период буквой T. Для идеальной линейной пружины без потерь энергии:

\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Жёсткость означает, насколько возрастает сила при увеличении деформации. Пружина с большим k сильнее возвращает один и тот же груз к равновесию, поэтому колебания быстрее. Более тяжёлый груз, наоборот, меняет движение медленнее. Связь силы с растяжением или сжатием отдельно проверяется через закон Гука: там рассчитывается деформация, а здесь время движения.

Для поиска массы и жёсткости используются те же отношения после переноса известных величин:

\displaystyle m=k\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2,\qquad k=\frac{4\pi^2m}{T^2}

Все три величины должны быть положительными. Нулевая масса не описывает инерцию груза, нулевая жёсткость не создаёт возвращающую силу, а нулевой период не соответствует полному циклу. Скрытое поле выбранной искомой величины не участвует в расчёте. При смене режима прежний ввод сохраняется, поэтому не требуется заново набирать каждое число.

Шесть задач с разными исходными данными

Пример 1. Груз из лабораторного набора. На пружине жёсткостью 20 Н/м колеблется груз массой 500 г. В поле килограммов вводим 0,5. Получаем период 0,993459 с. Если ошибочно ввести 500 кг, период будет 31,4159 с: масса увеличилась в тысячу раз, а период в √1000 раза. Перевод единиц нужно выполнить до сравнения с секундомером.

Пример 2. Добавление груза. К той же пружине вместо 0,5 кг прикрепили 2 кг. Масса выросла вчетверо, поэтому период стал вдвое больше: 1,98692 с вместо 0,993459 с. Частота уменьшилась до 0,503292 Гц. Если добавить только ещё 0,5 кг, удвоенная масса даст увеличение периода в √2 раза, а не в два.

Пример 3. Пружина для секундного цикла. Для груза 0,5 кг нужен полный период 1 с. Выбираем поиск жёсткости и получаем 19,7392 Н/м. Это близко к исходным 20 Н/м, но не равно им. Если целью была одна секунда от верхнего края до нижнего, полный период должен быть 2 с; для той же массы понадобилась бы жёсткость 4,93480 Н/м.

Пример 4. Подбор движущейся массы. Известна пружина 80 Н/м, требуется период 0,5 с. Обратный расчёт массы даёт 0,506606 кг. Если чашка и крепление, движущиеся вместе с грузом, весят 0,05 кг, дополнительный груз должен иметь массу примерно 0,456606 кг. В формуле нужна суммарная движущаяся масса, а не только масса добавленной гири.

Пример 5. Определение жёсткости секундомером. Груз 0,2 кг совершил 20 полных колебаний за 12 с. Сначала делим время на число циклов: T = 12 / 20 = 0,6 с. Затем поиск жёсткости даёт 21,9325 Н/м. Ввод всей серии как периода дал бы 0,0548311 Н/м, то есть результат в 400 раз меньше: ошибка времени входит в квадрате.

Пример 6. Паспортная единица Н/мм. Жёсткость указана как 0,2 Н/мм, движущаяся масса равна 0,8 кг. Переводим жёсткость: 0,2 Н/мм = 200 Н/м. Период получается 0,397384 с, частота 2,51646 Гц. Число 0,2 без перевода означало бы значительно более мягкую пружину и дало период 12,5664 с.

Как читать частоту и измерять цикл

Частота связана с периодом обратным отношением f = 1 / T. Период 0,5 с означает два цикла за секунду, то есть 2 Гц. Время между двумя последовательными прохождениями середины может быть только половиной периода, поскольку за цикл груз проходит середину дважды. Для отсчёта выбирайте возвращения в одно крайнее положение или прохождения середины в одном направлении.

При измерении серии запустите секундомер в узнаваемый момент, дождитесь выбранного числа полных возвращений и разделите длительность на это число. Начальное положение является началом отсчёта, а не первым завершённым циклом. Измерение нескольких циклов уменьшает относительное влияние реакции человека. Несколько повторений помогают увидеть разброс, который не отражается в расчётных цифрах.

Герцы и обороты в минуту используют одинаковую идею количества циклов за время, хотя груз на пружине не вращается. Если в условии ритм указан в циклах за минуту, численное преобразование можно выполнить через перевод об/мин в герцы. Например, 120 циклов в минуту соответствуют 2 Гц и периоду 0,5 с.

Равновесие, размах и границы модели

У вертикальной пружины сила тяжести смещает равновесие вниз. После небольшого смещения относительно этого нового положения возвращающая сила по-прежнему определяется жёсткостью. Поэтому g не входит в формулу периода. Статическое удлинение под весом и амплитуда колебаний являются разными величинами: амплитуда измеряется от положения равновесия до крайнего положения.

В линейной идеальной модели период не зависит от амплитуды. Увеличение размаха увеличивает путь и скорость груза, сохраняя время цикла. Это верно, пока сила пропорциональна смещению. Если витки соприкасаются, меняется геометрия или возникает остаточная деформация, постоянная жёсткость может уже не описывать движение.

У груза на нити другое происхождение возвращающей силы. В расчёте нитяного маятника период зависит от длины и ускорения тяжести, а масса сокращается. Переносить эту формулу на пружину нельзя, даже если оба устройства называют маятниками.

Здесь пружина считается невесомой, опора неподвижной, трение и сопротивление воздуха отсутствуют. Если масса пружины заметна относительно груза, её собственное движение влияет на инерцию системы. При потерях энергии размах уменьшается, а простая формула не определяет время остановки. Она также не оценивает прочность детали или допустимый ход.

Ответ выводится с шестью значащими цифрами, но это не означает такую точность измерений. Для очень малых положительных результатов используется научная запись, чтобы они не выглядели нулём. Слишком большие или малые данные с непредставимым итогом вызывают ошибку. Перед уточнением последних цифр проверьте единицы, массу креплений и способ подсчёта циклов.

Вопросы о пружинных колебаниях

При сравнении расчёта с опытом важны начальные условия и устройство подвеса. Ниже рассмотрены ситуации, которые не требуют добавлять лишние поля в основную форму.

Изменится ли период, если сначала толкнуть груз?

У идеальной линейной системы начальная скорость меняет амплитуду и начальную фазу, то есть положение внутри цикла в момент запуска. Собственный период определяется массой и жёсткостью и остаётся тем же. Однако сильный толчок может вывести реальную пружину из линейного участка или вызвать боковое движение, для которого этой модели недостаточно.

Что происходит при нулевой амплитуде?

Груз остаётся в равновесии, поэтому наблюдаемых колебаний нет. Формула при этом задаёт собственный период системы: каким был бы цикл после малого возмущения. Нулевую амплитуду не нужно подменять нулевым периодом; это разные характеристики.

Нужно ли включать массу чашки и крепления?

Да, если они движутся вместе с грузом без относительного перемещения. Неподвижная стойка в массу не входит. Если отдельные части движутся с разными скоростями или вращаются, простой суммы масс может быть недостаточно: потребуется описание их движения.

Можно ли ввести две пружины вместо одной?

Можно сначала определить эквивалентную жёсткость. Для двух одинаковых невесомых пружин жёсткости k при параллельном соединении она равна 2k, при последовательном k/2. С одной и той же массой периоды составят соответственно T/√2 и T√2 относительно одной пружины. Условия крепления должны соответствовать выбранному соединению.

Период показывает, когда груз остановится?

Нет. Период описывает длительность одного цикла, а остановка связана с потерями энергии. В принятой модели без затухания колебания продолжаются. Для определения снижения размаха понадобятся параметры сопротивления или наблюдения нескольких последовательных максимумов.

Как ошибка измерения периода влияет на найденную жёсткость?

Жёсткость пропорциональна 1/T². При небольшой относительной ошибке периода в 1% ошибка найденной жёсткости по модулю составляет примерно 2%, если масса известна точно. Завышенный период занижает жёсткость. Для больших ошибок используйте полный обратный расчёт, поскольку оценка через удвоение процента является приближённой.

Будет ли тот же маятник колебаться иначе в другом месте?

При неизменных массе и жёсткости идеальный пружинный маятник имеет тот же период: изменение g влияет на вертикальное равновесие. Но температура может изменить свойства реальной пружины, а новая среда изменить сопротивление движению. Поэтому одинаковый расчётный период не гарантирует полного совпадения любого реального опыта.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.