Калькулятор скорости молекул

Средняя скорость	476,287 м/с
Наиболее вероятная скорость	422,098 м/с

Как быстро движутся частицы газа

Исследовательница наблюдает учебный сосуд с условно увеличенными частицами газа

При температуре 300 К и молярной массе 28 г/моль среднеквадратичная скорость частиц идеального газа составляет примерно 517 м/с. Это характеристика их хаотического движения: частицы летят в разных направлениях, сталкиваются и меняют скорости. Калькулятор по температуре и молярной массе находит три разных числа, которые описывают такое движение в тепловом равновесии.

В неподвижном сосуде быстрые частицы не создают ветер в одну сторону. Их направления в среднем компенсируются. Но быстрота движения, то есть модуль скорости, остаётся положительной. Поэтому средний вектор скорости газа может быть нулевым, хотя средняя скорость отдельных частиц измеряется сотнями метров в секунду. Расчёт выполняется относительно газа как целого, без добавления скорости его направленного потока.

Почему получаются три скорости

Среднеквадратичную скорость получают так: возводят модули скоростей частиц в квадрат, усредняют квадраты и извлекают корень. Быстрые частицы сильнее влияют на это число. Именно средний квадрат входит в связь температуры с поступательной кинетической энергией. Поэтому этот результат показан главным.

Средняя скорость является обычным средним модулей, без возведения в квадрат. Наиболее вероятная соответствует вершине распределения по модулю скорости: около неё плотность вероятности наибольшая. Это не обещание, что большинство частиц движется с одним точным значением. Для непрерывного распределения сравнивают небольшие интервалы скоростей, а не количество частиц с математически точной скоростью.

Для классического равновесного идеального газа наиболее вероятная скорость меньше средней, а средняя меньше среднеквадратичной. Их отношения постоянны: наиболее вероятная составляет примерно 81,65% от среднеквадратичной, средняя примерно 92,13%. При изменении температуры или молярной массы все три числа масштабируются одинаково, сохраняя эти отношения.

Температура, молярная масса и формулы

Температура T нужна в кельвинах. К температуре в градусах Цельсия прибавляют 273,15: например, 20°C соответствуют 293,15 К. Шаг в один кельвин равен шагу в один градус Цельсия, но абсолютные значения этих шкал различаются. Подстановка числа 20 вместо 293,15 меняет физическое состояние, а не только оформление единицы.

Молярная масса M показывает массу одного моля частиц. В поле она вводится в граммах на моль, а в формулах ниже используется в килограммах на моль: 28 г/моль = 0,028 кг/моль. Для чистого вещества значение можно определить по составу через калькулятор молярной массы. Не подставляйте массу всего содержимого баллона: она зависит от количества газа и не является молярной массой.

Среднеквадратичная скорость вычисляется по температуре и молярной массе:

v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}

Для обычной средней скорости коэффициент под корнем другой:

\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}

Наиболее вероятная скорость соответствует максимуму распределения:

v_{\mathrm{p}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}

R обозначает универсальную газовую постоянную, здесь 8,31446261815324 Дж/(моль·К). Все три результата выражены в метрах в секунду. Квадратный корень делает зависимость плавной: увеличение температуры в четыре раза увеличивает характерные скорости вдвое. Увеличение молярной массы в четыре раза уменьшает их вдвое при той же температуре.

Сравнение состояний газа

Учебный азот при комнатной температуре. Возьмём округлённую молярную массу 28 г/моль и T = 300 К, то есть 26,85°C. Получаем среднеквадратичную скорость 516,963 м/с, среднюю 476,287 м/с и наиболее вероятную 422,098 м/с. Это три характеристики одного распределения. Выбирать одно число для задачи нужно по её формуле: для средней поступательной энергии важен средний квадрат, для вершины распределения наиболее вероятная скорость.

Нагрев при сохранении состава. Для M = 28 г/моль повышение температуры с 300 до 1200 К увеличивает среднеквадратичную скорость до 1033,93 м/с, среднюю до 952,574 м/с, наиболее вероятную до 844,197 м/с. Температура выросла вчетверо, скорости вдвое. Пример предполагает тот же состав частиц и применимость идеальной модели; химические изменения при нагреве отдельно не рассчитываются.

Лёгкий атомарный газ при той же температуре. Для округлённой массы 4 г/моль и 300 К, как в учебной модели гелия, среднеквадратичная скорость равна 1367,76 м/с. Это примерно в 2,646 раза больше результата для 28 г/моль. При этом средняя поступательная энергия одного моля одинакова: 3RT/2 ≈ 3741,51 Дж. Лёгкие частицы движутся быстрее при том же энергетическом масштабе; для отдельной частицы связь массы, скорости и энергии показывает расчёт кинетической энергии.

Измерение термометром в градусах Цельсия. При 20°C сначала переводим температуру в 293,15 К. Для 28 г/моль получаем 511,027 м/с среднеквадратичной скорости. Ошибочная подстановка 20 К дала бы 133,479 м/с, почти вчетверо меньше. Такой результат относится к другой температуре и может лежать вне газообразного состояния реального вещества.

Изотермическое сжатие. Пусть газ с M = 28 г/моль остаётся при 300 К, а абсолютное давление повышается со 100 до 200 кПа. Все три характерные скорости сохраняются: 516,963, 476,287 и 422,098 м/с. При неизменном количестве идеального газа объём уменьшается вдвое, меняется концентрация частиц. Связь давления, объёма и количества даёт калькулятор идеального газа. Обычное быстрое сжатие может нагреть газ; здесь температура специально удерживается постоянной.

Масштаб короткого свободного пролёта. Для 300 К и 28 г/моль возьмём частицу со скоростью, равной средней 476,287 м/с. Прямой участок 1 см без столкновений она пройдёт примерно за 21,0 мкс. Это условная оценка длина/скорость, а не среднее времени пролёта всех частиц. В газе столкновения меняют направление; по этому числу нельзя предсказать, когда запах достигнет другого конца комнаты.

Границы классической модели

Формулы описывают разреженный газ в тепловом равновесии. Для смеси каждый компонент имеет свою молярную массу и своё распределение, хотя температура общая. Вращение и колебания сложных молекул добавляют внутреннюю энергию, но не меняют эту классическую связь температуры с их поступательным движением.

При конденсации, сильном взаимодействии частиц, квантовом вырождении или скоростях, сравнимых со скоростью света, нужна другая модель. Положительные числа в полях сами по себе не подтверждают физическую применимость. Нулевую температуру форма отвергает: абсолютный ноль не является обычным состоянием классического теплового газа. Шесть значащих цифр в ответе показывают вычисление, а точность опыта определяется исходными T и M.

Вопросы о тепловом движении

Для звука, смеси и переноса вещества нужны дополнительные различия: модуль скорости частицы, её проекция и коллективное движение газа описывают разные задачи.

Среднеквадратичная скорость равна скорости звука?

Нет. Звук является распространяющимся возмущением давления, а здесь считаются скорости самих частиц. Для идеального газа скорость звука зависит также от отношения теплоёмкостей γ. При γ=1,4, T=300 К и M=28 г/моль она около 353,153 м/с, тогда как среднеквадратичная скорость частиц около 516,963 м/с.

Какова скорость движения по одной координате?

При изотропном движении средний квадрат каждой из трёх координатных проекций составляет треть среднего квадрата полного модуля. Поэтому RMS одной проекции равна полной RMS, делённой на √3. Для 300 К и 28 г/моль получается около 298,469 м/с. Средняя знаковая проекция при этом равна нулю.

Можно ли взять среднюю молярную массу смеси?

Для распределения конкретных частиц лучше считать компоненты отдельно. При 300 К частицы с массами 4 и 28 г/моль имеют разные RMS: около 1367,76 и 516,963 м/с. Одна средняя молярная масса не заменяет эти два распределения. Для объединённой статистики дополнительно нужны доли частиц каждого компонента.

Как проверить RMS по давлению и плотности?

В модели идеального газа v_rms=√(3p/ρ), где p в паскалях, плотность ρ в кг/м³. Например, 100000 Па и 1,2 кг/м³ дают 500 м/с. Давление и плотность должны относиться к одному состоянию газа; манометрическое давление вместо абсолютного изменит ответ.

Можно ли найти температуру по известной RMS?

Да, вручную переставив величины: T=M v_rms²/(3R), с M в кг/моль. Для RMS=1000 м/с и M=0,028 кг/моль получится примерно 1122,54 К. Скорость должна быть именно среднеквадратичной характеристикой равновесного газа, а не измерением одной произвольно выбранной частицы.

Наиболее вероятная скорость является максимальной?

Нет. Она обозначает вершину плотности распределения, а не верхнюю границу. В классическом распределении есть более быстрые частицы, их доля уменьшается в длинном хвосте. Например, при наиболее вероятной скорости 422,098 м/с наличие частиц со скоростью 800 м/с не противоречит модели; вероятность оценивают для заданного интервала.

Почему запах распространяется медленнее теплового движения?

Столкновения многократно меняют направление частиц. Их путь может быть длинным при небольшом итоговом перемещении. В простой диффузионной модели характерное время растёт как квадрат расстояния: удвоение расстояния требует примерно вчетверо больше времени при неизменном коэффициенте диффузии. Реальный перенос в комнате дополнительно ускоряют или замедляют потоки воздуха.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.