Вода в тонкой стеклянной трубке поднимается выше наружного уровня: она смачивает стекло, а изогнутая поверхность удерживает столбик. Чем уже трубка, тем выше этот столбик: при диаметре 1 мм около 3 см, при 0,1 мм около 30 см в идеальной модели.
Если поставить рядом трубки разной толщины, в самой тонкой вода окажется выше. Ниже можно повторить расчёт для своего диаметра, понять, почему мениск похож на чашу, и выяснить, когда школьная формула перестаёт описывать реальный материал.
В статье вы узнаете:
Возьмём открытый стакан с водой и опустим в него вертикально три чистые стеклянные трубки. Их внутренние диаметры равны 1 мм, 0,5 мм и 0,1 мм. Важен именно внутренний просвет: толщина стеклянной стенки сама по себе не даёт нужного диаметра. Уровень в стакане служит общей нулевой отметкой. Измерять высоту будем от этого уровня до поверхности воды внутри трубки, а не от её нижнего края.
Пока важнее всего одно условие: вода, стекло и температура во всех трёх трубках одинаковы. Числа для расчёта разберём ниже. При хорошо смачиваемом стекле он даёт:
Разница не случайная. При уменьшении диаметра вдвое высота удваивается. При уменьшении в десять раз возрастает в десять раз. Сравнивать надо трубки, которые смачиваются одинаково и содержат одну и ту же жидкость. Если тонкую трубку обработать водоотталкивающим составом, правило по одному диаметру уже не предскажет, окажется ли вода выше уровня стакана.
Поставить эксперимент с просветом 0,1 мм дома трудно: трубка очень тонкая, а её просвет не определить обычной линейкой. Но пара прозрачных капилляров из учебного набора уже покажет главное. Если все трубки одинаковой длины и одна из них короче своей расчётной высоты, сравнение по отметке воды перестанет работать: у неё попросту нет достаточно длинного участка, чтобы показать равновесный уровень.
Посмотрите на поверхность воды в тонкой стеклянной трубке сбоку. Она не плоская: у стенок поднимается выше, а в середине прогибается вниз, словно маленькая чаша. Эту изогнутую границу воды и воздуха называют мениском. Вода смачивает чистое стекло, то есть растекается по нему, а не собирается в отдельные круглые капли. У края мениска натяжение тянет воду вверх и удерживает столбик жидкости.
Часто говорят: «вода прилипла к стеклу и поползла вверх». Как первая картинка в голове это годится, но в ней пропущен важный участник. Вода у стенки связана с соседней водой, а форма её поверхности создаёт перепад давления. Часть жидкости движется вслед за поднявшимся краем. Если представить, что жидкость у стенки никак не связана с остальной, объяснить подъём целого столбика уже нельзя.
Почему узкая трубка выигрывает? На единицу объёма воды у неё больше стенки по соседству с жидкостью. Мениск в узком просвете сильнее искривлён, поэтому разница давлений, которую он может поддерживать, больше. Это не мотор с постоянной тягой: по мере подъёма растёт масса водяного столба и противодействие тяжести. В широкой трубке эффект тоже возможен, но высота мала и его легче не заметить.
При одинаковом атмосферном давлении над стаканом и над открытым капилляром давление непосредственно под вогнутым мениском ниже давления воздуха. Между ним и водой на уровне поверхности стакана стоит вертикальный столбик жидкости. Столб высотой h создаёт прибавку гидростатического давления ρgh. Высота перестаёт расти, когда прибавка от веса столба сравняется с перепадом, который создаёт мениск. Так поверхностное натяжение и давление водяного столба оказываются двумя сторонами одного ответа.
Для прямой круглой трубки постоянного сечения равновесная высота записывается коротко:
Здесь γ означает поверхностное натяжение воды в Н/м, θ угол смачивания стенки, ρ плотность в кг/м³, g ускорение в м/с², d внутренний диаметр в метрах. Результат h тоже получится в метрах. Если в условии дан радиус r, формулу пишут как h = 2γ cos θ / (ρgr). Эти записи одинаковы: диаметр равен двум радиусам. Подмена диаметра радиусом делает ответ вдвое неправильным.
Для спокойной чистой воды при 20 °C примем поверхностное натяжение 0,0728 Н/м, плотность округлим до 1000 кг/м³, ускорение свободного падения возьмём 9,81 м/с². Чистое стекло в учебной модели хорошо смачивается водой, поэтому угол между поверхностью воды и стенкой считаем близким к нулю.
Проверим первую трубку полностью. Диаметр 1 мм переводим в 0,001 м. Для хорошо смачиваемого стекла cos θ примерно равен 1. Числитель равен 4 × 0,0728 = 0,2912. Знаменатель равен 1000 × 9,81 × 0,001 = 9,81. Делим: 0,2912 / 9,81 = 0,029684 м, то есть около 2,97 см. Полученное число относится к разности между уровнями внутри трубки и снаружи, а не к общей длине мокрой части стекла.
У той же воды и стекла в знаменателе меняется только d. Для просвета 0,5 мм подставляем 0,0005 м и получаем 0,059368 м, или 5,94 см. Для 0,1 мм подставляем 0,0001 м и получаем 0,29684 м, или 29,68 см. Приближение в итоговых сантиметрах уместно: мы уже округлили плотность и приняли идеальное смачивание. Расчёт до сотых миллиметра не обещает такую точность настоящему опыту.
Есть ещё одна проверка смысла числа. Для диаметра 1 мм мениск в этой модели создаёт перепад давления около 291 Па: 4 × 0,0728 / 0,001. Столб воды высотой 0,029684 м даёт 1000 × 9,81 × 0,029684 ≈ 291 Па. Силы уравновесились. Для диаметра 0,1 мм обе величины вырастут примерно до 2912 Па, а высота окажется в десять раз больше. Если в собственном расчёте давление мениска и давление столба сильно различаются, проверьте перевод миллиметров в метры.
Вода на чистом стекле обычно образует вогнутый мениск. У поверхности другой пары веществ ситуация может измениться: например, вода на водоотталкивающем покрытии собирается каплей. Угол смачивания показывает, как граница жидкости подходит к стенке; он измеряется внутри жидкости. При угле меньше 90° косинус положителен и уровень в капилляре выше наружного. При угле больше 90° он отрицателен: уровень в трубке оказывается ниже. При угле около 90° подъём или понижение по этой модели малы.
Классический контраст с водой в стекле даёт ртуть в стеклянной трубке: поверхность выгибается в другую сторону, а уровень в трубке понижается. Повторять опыт с ртутью не нужно: это опасное вещество. Чтобы увидеть разницу в смачивании без неё, сравните каплю воды на чистом стекле и на водоотталкивающей поверхности. Это покажет изменение формы капли, хотя не заменит точное измерение угла внутри капилляра.
Нельзя взять численное значение γ для воды и автоматически получить высоту для любой пластиковой трубки. Материал и состояние поверхности меняют угол: жирная плёнка, моющее средство, покрытие и загрязнение влияют на контакт воды со стенкой. Моющее средство может менять и натяжение самой границы воды с воздухом. В формуле это разные входные величины, и ошибка ни в одной из них не исправляется более точным измерением диаметра.
Формула предсказывает равновесный уровень для неподвижной жидкости в длинной прямой капиллярной трубке. Она не говорит, сколько секунд ждать результата. В узкой трубке жидкость движется через тесный канал и испытывает сопротивление; воздух и загрязнение могут помешать заполнению. Если сфотографировать опыт сразу после погружения, виден этап движения, а не окончательная высота.
Проверьте условия опыта по порядку. Сначала убедитесь, что трубка открыта сверху и снизу, а её нижний край погружён в воду. Затем оцените именно внутренний диаметр и посмотрите, нет ли в просвете пузырька. Поставьте трубку вертикально и отметьте уровень воды в стакане в тот же момент, когда измеряете уровень внутри. Наконец, учтите, что на загрязнённом стекле контактный угол и поведение мениска могут отличаться от учебного примера. Случайная отметка на стенке без этих проверок не подтверждает и не опровергает формулу.
Если длина трубки над поверхностью меньше расчётной высоты, уравновесить столбик на указанном уровне внутри неё невозможно. Что произойдёт у верхнего края, зависит от его формы, смачивания, доступа воздуха и того, куда жидкость может уйти. Поэтому короткую трубку не используют для прямой проверки предельной высоты. И ещё: наклонная трубка не меняет нужную вертикальную разницу уровней в простой равновесной модели; расстояние вдоль её оси окажется больше. По наклонному стеклу жидкость проходит более длинный путь до той же высоты.
В лабораторном значении 0,0728 Н/м есть условие: чистая вода около 20 °C. При изменении температуры и состава изменяется натяжение, а у реальной воды чуть меняется и плотность. В школьном опыте самая заметная погрешность часто приходит не от округления 1000 кг/м³, а от плохо известного просвета и смачивания. Если нужен измерительный результат, берите свойства именно вашей жидкости и поверхности, а не только более длинный калькулятор.
Бумажная салфетка намокает, если коснуться её краем воды: жидкость проходит через множество узких промежутков между волокнами. Здесь есть тот же важный мотив, смачивание и границы жидкости в мелких порах. Но салфетка не состоит из одинаковых прямых круглых трубок. Поры различаются по размеру и направлению, некоторые тупиковые, волокна впитывают воду, а открытая поверхность испаряет её. Подставить «средний диаметр поры» в формулу одной трубки и объявить полученные сантиметры высотой промокания было бы слишком смело.
Ещё интереснее дерево. По тонким каналам вода действительно может подниматься благодаря капиллярным явлениям. Однако одной такой равновесной высоты недостаточно, чтобы объяснить доставку воды к вершине высокого дерева. Испарение воды листьями помогает тянуть связанную колонну вверх; этот процесс называется транспирацией. Значит, школьный расчёт нужен для понимания одного механизма, а не для предсказания высоты дерева по диаметру сосудов.
У пористого грунта похожее ограничение. Влажный слой поднимается не в одном стеклянном капилляре: почва содержит поры разных размеров, контакт воды с частицами неодинаков, а движение может продолжаться или замедляться из-за испарения. Фраза «чем мельче поры, тем выше подъём» полезна как направление сравнения, но из неё нельзя одной формулой получить режим полива для грядки или скорость увлажнения стены. Для последнего важны ещё проницаемость, запас воды и время.
Если известны диаметр и материал стенки, сначала решите, ищете ли вы высоту подъёма или просто значение поверхностного натяжения. В этой статье высота получается из равновесия мениска и веса воды. Если же в задаче измерены сила на плёнке либо перепад давления в пузырьке, их можно подставить в калькулятор поверхностного натяжения и найти γ. Затем, зная ещё плотность, диаметр и угол смачивания, использовать формулу высоты выше.
Когда задана уже достигнутая высота, калькулятор давления жидкости поможет проверить величину ρgh. Для нашего первого примера в поле «Глубина» введите численное значение высоты 0,029684 м, укажите плотность 1000 кг/м³ и g = 9,81 м/с²: получится около 0,291 кПа, или 291 Па. Это положительная величина перепада из-за веса столба, а не знак давления непосредственно под мениском. Ни один из двух инструментов сам не рассчитывает капиллярную высоту.
Практический ориентир остаётся простым: сравнивайте воду и стенку при одинаковых условиях, меряйте внутренний просвет и отсчитывайте высоту по вертикали от наружного уровня. Тогда «в тонкой трубке вода поднимается выше» превращается из красивой фразы в проверяемое число. Если результат отличается, первым делом ищите разницу в смачивании, диаметре и времени ожидания, а не новый закон природы.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.