Чтобы решить текстовую задачу, сначала назовите неизвестную величину и выясните, как она связана с данными. Затем запишите эту связь рисунком, действиями или уравнением. После вычислений проверьте ответ по условию.
На примере билетов станет понятно, откуда берётся уравнение и зачем в нём скобки. Затем вы сможете перенести этот способ на движение и размеры участка, отличить «на» от «в» и найти ошибку даже в решении с красивым ответом.
В статье вы узнаете:
Трое взрослых и двое детей заплатили за вход в музей 1900 рублей. Взрослый билет стоит на 200 рублей дороже детского. Сколько стоит каждый билет? Цены условные; нас интересует связь между ними, а не тариф музея.
Сначала представим покупку без букв. Если бы все пятеро прошли по детской цене, общая сумма была бы меньше. Каждый из трёх взрослых доплатил по 200 рублей, значит, вместе они доплатили 600. Убираем эти доплаты из 1900: остаётся 1300 рублей за пять одинаковых детских билетов. Один стоит 1300 ÷ 5 = 260 рублей. Взрослый на 200 дороже, то есть 460 рублей.
Проверим покупку с самого начала. Три взрослых билета стоят 3 × 460 = 1380 рублей. Два детских стоят 2 × 260 = 520 рублей. Вместе 1380 + 520 = 1900 рублей, а разница между ценами 460 − 260 = 200 рублей. Оба условия выполнены. Просто получить сумму 1900 было бы недостаточно: она складывается из множества разных цен.
Теперь тот же ход можно записать короче. Обозначим буквой x цену одного детского билета в рублях. Взрослый тогда стоит x + 200. Три взрослых билета дают 3 × (x + 200), два детских дают 2x. Запись 2x означает 2 × x: знак умножения рядом с буквой обычно опускают. Эти две суммы вместе равны стоимости всей покупки:
3 × (x + 200) + 2x = 1900.
Знак равенства связывает два описания одной суммы: слева мы собрали её из билетов, справа взяли готовое значение из условия. Уравнение здесь не появляется из догадки. Оно записывает историю покупки, которую уже удалось объяснить словами.
Рядом с буквой стоит написать полную фразу: «x рублей стоит один детский билет». Запись «пусть x» не объясняет, что вы считаете. В середине решения легко начать использовать ту же букву для количества детей или общей стоимости, и арифметика перестанет описывать одну задачу.
Неизвестная величина не обязана точно совпадать с вопросом. Если нужно найти взрослую цену, всё равно удобно сначала обозначить детскую: тогда выражение для взрослой получается простым. Но в ответе надо сделать последний шаг и прибавить 200. Найденный x и требуемый ответ могут быть разными числами.
Единицы помогают заметить ошибку раньше калькулятора. Цена билета измеряется в рублях за один билет. Когда умножаем её на число билетов, получаем рубли за покупку. Запись x + 3, где x означает цену, а тройка означает троих людей, складывает разные вещи. У такого действия нет смысла, даже если на бумаге оно выглядит аккуратно.
В нашей задаче взрослый билет на 200 рублей дороже. К детской цене прибавляют 200. Если бы было сказано «в два раза дороже», взрослую цену следовало бы умножить на 2. При детской цене 260 рублей эти варианты дали бы 460 и 520 рублей. Это разные условия, а не два способа записать одно и то же.
Слова нужно читать вместе с тем, о ком идёт речь. «У Ани 12 наклеек, это на 5 больше, чем у Бори». Слово «больше» присутствует, но у Бори наклеек меньше: 12 − 5 = 7. Полезно переписать сравнение: «Анины наклейки = Борины наклейки + 5». Сразу видно, какая величина находится слева и что из неё нужно убрать.
То же относится к порядку вычитания. «Из 50 вычли неизвестное число и получили 18» записывается как 50 − x = 18. Вариант x − 50 = 18 описывает другую историю. Проверьте на найденном числе: 50 − 32 = 18, а 32 − 50 даёт отрицательное значение.
Если фраза мешает, нарисуйте два отрезка. У более длинного выделите лишнюю часть и подпишите разницу. Для «в три раза больше» нарисуйте три одинаковые части напротив одной. Такой рисунок показывает отношение величин. Красота линий здесь не оценивается; важно не нарисовать сложение там, где требуется повторение одинаковой части.
Вернёмся к билетам. Цена x + 200 относится к каждому из трёх взрослых. Поэтому тройка умножает всю цену, а не только x. Если раскрыть скобки, получится 3x + 600. Запись 3x + 200 учла бы доплату лишь одного взрослого и потеряла бы ещё 400 рублей.
После этого уравнение становится проще: 3x + 600 + 2x = 1900. Три одинаковые детские цены и ещё две дают пять, поэтому 5x + 600 = 1900. Вычитаем 600 из обеих частей: 5x = 1300. Делим обе части на 5: x = 260.
Почему именно из обеих частей? Знак равенства говорит, что суммы одинаковы. Если слева убрать 600, а справа оставить всё как было, равенство может нарушиться. Поэтому удобнее сначала проговаривать действие полностью: «вычитаю 600 слева и справа». Правило «перенести через равно и сменить знак» сокращает эту запись, но без понимания часто превращается в перестановку символов наугад.
Можно выбрать и другой путь. Пусть y рублей стоит взрослый билет. Детский тогда стоит y − 200, а вся покупка описывается так: 3y + 2 × (y − 200) = 1900. После раскрытия скобок получаем 5y − 400 = 1900, затем 5y = 2300 и y = 460. Изменилось обозначение, но не цены. Если два разумных способа дали разные ответы, это повод проверить перевод условия или вычисления.
Для проверки вычислений подходит обычный калькулятор. Введите отдельно 3 × 460 и 2 × 260, затем сложите полученные суммы. Он проверит арифметику. Решение о том, почему взрослый билет записан как x + 200 и почему таких билетов три, всё равно должно следовать из условия.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу по одной дороге. Между ними было 54 километра, скорости постоянные: 12 и 15 километров в час. Через сколько времени они встретятся? Здесь неизвестно время, а не скорость или расстояние. Обозначим его t часов.
За один час первый проедет 12 километров, второй 15. За t часов они проедут 12t и 15t километров. В момент встречи пройденные участки вместе составят исходные 54 километра. Получаем 12t + 15t = 54, то есть 27t = 54 и t = 2 часа.
Проверка по условию даёт 24 километра у первого и 30 у второго. Они складываются в 54. Здесь можно было сразу разделить расстояние на сумму скоростей, но объяснение через два участка показывает, почему скорости складываются. Сумма подходит для этого одновременного движения навстречу, а не для любой задачи, где встретились два транспорта.
Теперь изменим всего одно условие. Первый велосипедист выехал на час раньше, а время t отсчитываем от старта второго. Первый к встрече будет ехать t + 1 часов, второй t часов. Уравнение уже другое: 12 × (t + 1) + 15t = 54. После раскрытия скобок 27t + 12 = 54, поэтому t = 42 ÷ 27 = 14/9 часа после старта второго. Это 1 час 33 минуты 20 секунд. От первого старта прошло на час больше.
Такое изменение нельзя учесть, просто заменив число в ответе первой задачи. Нарисуйте две линии времени: на первой отметьте лишний час до старта второго участника. Сначала решите, от какого события идёт отсчёт, и лишь затем подставляйте время в расстояние.
Особенно следите за единицами. При скорости 12 км/ч за 30 минут велосипедист проедет 6 километров: полчаса равно 0,5 часа, а 12 × 0,5 = 6. Число 30 нельзя умножать на скорость в километрах за час как будто это 30 часов. Если удобнее минуты, переведите скорость в километры за минуту и используйте их во всей задаче.
Прямоугольный участок имеет площадь 40 м². Его длина на 3 метра больше ширины. Нужно найти обе стороны. Сначала назовём ширину x метров, тогда длина составит x + 3 метра. Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины, поэтому x × (x + 3) = 40.
Здесь неизвестная величина умножается сама на себя: после раскрытия скобок получится x² + 3x = 40. Вычтем 40 из обеих частей и запишем x² + 3x − 40 = 0. Самая высокая степень x в этой записи вторая, поэтому уравнение называют квадратным. Запись x² означает x × x. Если работа с такими уравнениями ещё впереди по школьной программе, можно сначала подобрать стороны: 5 × 8 = 40, а разница равна 3.
В калькуляторе квадратных уравнений введите коэффициенты a = 1, b = 3, c = −40. Единица стоит перед x², тройка перед x, а −40 является отдельным числом. Калькулятор покажет два корня: 5 и −8. Почему ответов два, если участок один?
В уравнение действительно подходят оба числа. Для −8 произведение равно (−8) × (−5) = 40. Но отрицательная ширина участка не подходит по смыслу. Поэтому оставляем x = 5 метров и получаем длину 8 метров. Проверяем и площадь 5 × 8 = 40 м², и разницу 8 − 5 = 3 метра. Решить уравнение и ответить на задачу иногда означает выполнить два отдельных шага.
Не стоит отбрасывать отрицательный ответ только потому, что он отрицательный. В задаче о температуре или балансе счёта он может быть нормальным. Ограничение задаёт величина: длина должна быть положительной, число целых билетов не может равняться 2,4, а время до будущей встречи не бывает отрицательным.
Начните с самого раннего места, где появился смысловой выбор. Что обозначает буква? Относится ли доплата к каждому билету? От одного ли старта считается время? Если уравнение составлено неправильно, безупречное деление в конце его уже не спасёт.
Затем проверьте результат по всем условиям. В задаче с билетами мало убедиться, что цены положительные и общая сумма равна 1900. Надо проверить ещё и разницу 200. В задаче про участок мало получить площадь 40: прямоугольник 4 × 10 тоже имеет такую площадь, но его стороны отличаются на 6, а не на 3 метра.
Бывает, данных недостаточно. Если известна только площадь 40 м², однозначно назвать стороны нельзя: подходят и 5 × 8, и 4 × 10, и другие пары положительных чисел. Второе условие связывает стороны и позволяет выбрать нужный прямоугольник. Не нужно придумывать отсутствующее условие ради единственного ответа.
Для самостоятельной пробы измените покупку билетов: двое взрослых и трое детей заплатили 1700 рублей, взрослый билет по-прежнему на 200 дороже. Сначала назовите общую доплату взрослых, затем сумму за пять детских билетов. Только после этого находите цену одного.
Доплата теперь равна 400, на пять детских цен остаётся 1700 − 400 = 1300 рублей. Детская цена снова 260, взрослая 460. Проверка: 2 × 460 + 3 × 260 = 920 + 780 = 1700. Если вы получили другую цену, проверьте, не сохранилась ли доплата 600 из прежнего условия.
Перед тем как считать задачу решённой, допишите словами, что означает найденное число. «260 рублей стоит детский билет» или «встреча через два часа после общего старта» сразу обнаруживает пропущенный шаг. Именно эта последняя связь с условием отличает ответ на задачу от числа, которое удалось получить на калькуляторе.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.