Как работает правило 70

При росте на 7% в год сумма удвоится примерно за 10 лет: 70 ÷ 7 = 10. Это правило 70, быстрая оценка срока удвоения.

Допустим, у вас есть 100 000 рублей под 7% годовых с ежегодной капитализацией. Через год станет 107 000, через два 114 490, а через десять около 196 715 рублей. До 200 000 не хватит примерно трёх месяцев. Правило 70 отбрасывает эти месяцы ради ответа в уме.

В статье вы узнаете:

• Как 100 000 рублей превращаются в 200 000
• Откуда взялось число 70
• Почему иногда делят на 72
• Кто первым записал такое правило
• Когда быстрый ответ перестаёт работать

100 000 рублей удвоятся примерно за 10 лет

Сначала считаем в уме: 70 ÷ 7 = 10 лет. Точный расчёт даёт 10,24 года. Ошибка составляет около трёх месяцев, что вполне подходит для быстрой оценки на десятилетнем сроке.

Здесь t обозначает срок удвоения, r процент роста за один период. При 5% получится около 14 лет, при 2% около 35 лет. Если ставка указана за год, ответ будет в годах; если за месяц, в месяцах.

Почему рост называется сложным? В первый год 7% от 100 000 дают 7000 рублей. Во второй год процент считают уже от 107 000, поэтому прибавка равна 7490 рублей. Дальше база растёт, а вместе с ней растёт и следующая прибавка.

Начальная сумма на срок не влияет. Десять тысяч, сто тысяч и миллион рублей при одной ставке удвоятся одновременно. Разными будут прибавки в рублях, но не отношение новой суммы к исходной.

Правило описывает не только деньги. При постоянном темпе оно приблизительно оценивает удвоение населения, выпуска продукции, числа пользователей или общего уровня цен. Например, инфляция 7% в год удвоила бы цены примерно за 10 лет, если бы все десять лет действительно оставалась равной 7%.

Условие о постоянном темпе важнее красивого деления. Реальные ставки меняются, доходность не гарантируется, а разные товары дорожают неодинаково. Поэтому правило показывает масштаб времени, а не обещает дату. Историческое изменение цен лучше проверять через калькулятор инфляции по фактическому помесячному индексу.

Откуда вообще взялось число 70

Число 70 не подбирали по нескольким удачным примерам. Оно получается из точной формулы. Если величина растёт на r процентов за период, каждый раз она умножается на 1 + r / 100. Через t периодов начальное значение S₀ станет равным:

При удвоении конечное значение в два раза больше начального. Значит, нужно найти, в какую степень возвести множитель роста, чтобы получить два. На этот вопрос отвечает логарифм:

Это точный расчёт для постоянной ставки с одним начислением за период. Но в уме два логарифма считать неудобно. При небольшой ставке ln(1 + x) близок к самому x, поэтому формулу можно сократить:

Вот и весь секрет: 100 ln 2 равно 69,3147, а для устного счёта число округлили до 70. При ежегодном начислении это всё равно приближение. Чем выше ставка, тем заметнее разница с точным ответом.

Почему иногда делят на 72

Если число 69,3 округляется до 70, откуда взялось 72? Оно чуть лучше компенсирует погрешность при ежегодном начислении и удобнее делится в уме. Оба правила приблизительные, просто ошибаются в разные стороны.

Число 72 делится без остатка на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12. При 6% получается ровно 12 лет, при 8% ровно 9 лет, при 12% ровно 6 лет. Число 70 делится хуже, зато ближе к исходным 69,3 и точнее на низких ставках.

Одного победителя здесь нет. Для низких ставок хорошо работает правило 70. При ежегодном сложном проценте примерно от 5% до 10% правило 72 часто ближе к точному ответу. Если важны месяцы, а не порядок лет, лучше не выбирать мнемонику и сразу считать точно.

Ещё один источник расхождения связан с частотой начисления. Номинальные 12% с ежемесячной капитализацией не равны росту на 12% один раз в конце года. Калькулятор сложного процента учитывает периодичность, срок и пополнения, поэтому подходит для проверки сценария после быстрой оценки в уме.

Лука Пачоли записал правило 72 в 1494 году

Представьте купца без калькулятора и даже без таблицы логарифмов. Долг растёт с процентами, а ему нужно понять, когда сумма станет вдвое больше. Считать каждый год вручную долго, поэтому короткое правило имело вполне практическую цену.

Самая известная ранняя печатная запись относится не к числу 70, а к правилу 72. Итальянский математик Лука Пачоли включил его в «Сумму арифметики, геометрии, отношений и пропорций», напечатанную в Венеции в 1494 году. Экземпляр первого издания хранится и оцифрован Библиотекой Конгресса. [Library of Congress]

Пачоли предлагал разделить 72 на процентную ставку. При 6% долг должен был удвоиться примерно за 12 лет. Исследование истории сложного процента в British Actuarial Journal отмечает, что это приближение хорошо работает для ставок от 3% до 12% и было записано более чем за столетие до публикации логарифмов. [Lewin, 2019]

Значит ли это, что Пачоли придумал приём с нуля? Неизвестно. Его книга собирала практическую математику своего времени, а задачи сложного процента встречались в рукописях раньше. Надёжнее считать Пачоли автором знаменитой ранней печатной записи, а не единственным изобретателем идеи.

Правило 70 объясняется уже современным языком логарифмов: 100 ln 2 равно примерно 69,3. Поэтому у него нет очевидного отдельного момента открытия. Это естественное округление точной формулы, тогда как 72 сохраняет историческую традицию и удобство деления.

Приписывать правило Альберту Эйнштейну нет оснований. Раннее печатное правило 72 старше его почти на четыре века. Популярные фразы Эйнштейна о «восьмом чуде» сложного процента тоже не имеют надёжного первичного источника.

Когда правило 70 даёт неправильный ответ

Правило работает, только если задача похожа на наш пример со 100 000 рублей. Перед делением проверьте четыре условия:

1. Рост сложный. Процент начисляется на уже выросшее значение, а не каждый раз на исходную сумму.
2. Ставка примерно постоянна. Один год под 5%, другой под 15% и третий с убытком нельзя честно заменить одним красивым числом.
3. Период известен. Годовая ставка даёт ответ в годах, месячная в месяцах. Частота капитализации тоже влияет на точный срок.
4. Нет дополнительных движений. Пополнения, снятия, комиссии и налоги меняют срок удвоения счёта.

Простой процент даёт особенно наглядное исключение. При 7% от первоначальной суммы каждый год прибавляется 0,07 исходного капитала. Для удвоения потребуется 1 / 0,07 = 14,29 года, а правило 70 обещало бы 10 лет. Разница возникла не из-за грубого округления, а из-за другой модели роста.

Если условия банковского продукта занимают полстраницы, правило 70 уже сделало свою работу: показало порядок лет. Конкретный срок, капитализацию и пополнения удобнее проверить в калькуляторе вклада. Для обычных долей и процентных изменений используйте калькулятор процентов.

Что стоит запомнить: 7% дают примерно 10 лет до удвоения, 10% около 7 лет, 2% около 35 лет. Для прикидки этого достаточно. Как только нужны точные месяцы и рубли, открывайте калькулятор.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.