Резонанс возникает, когда повторяющееся воздействие попадает в подходящий ритм и вызывает особенно сильные колебания. Так небольшими толчками можно раскачать качели: каждый удачный толчок добавляет энергию к уже накопленной. Самый заметный отклик обычно получается вблизи собственной частоты системы, то есть темпа её свободных колебаний.
По этому принципу звучат музыкальные инструменты и работают устройства настройки радиоприёмника. Но у раскачивания есть предел, а эффектная запись дрожащего моста ещё не объясняет причину его движения. Здесь вы сможете проследить путь энергии, прочитать резонансную кривую и проверить собственную частоту на простом маятнике.
В статье вы узнаете:
Представьте пустые качели. Вы отводите сиденье немного назад и отпускаете. Оно проходит нижнюю точку, поднимается вперёд, возвращается и повторяет движение. Один такой полный цикл называется колебанием. Если больше не вмешиваться, размах постепенно уменьшится: часть энергии уходит на трение в подвесах и сопротивление воздуха.
Теперь подталкивайте сиденье каждый раз, когда оно движется от вас вперёд. Толчок направлен туда же, куда движется сиденье, поэтому вы увеличиваете его скорость. На следующем подъёме оно заберётся чуть выше. Несколько своевременных небольших толчков дают больший размах, чем один такой же толчок.
Здесь важны и повторение, и момент приложения силы. Если толкнуть сиденье навстречу его движению, оно замедлится. Если подталкивать в случайные моменты, одни усилия будут разгонять качели, другие тормозить. Резонанс позволяет регулярно передавать энергию так, чтобы воздействие усиливало движение.
Предположим, качели совершают полный цикл примерно за две секунды. Подталкивая их в одном и том же месте при движении в одну сторону, вы возвращаетесь к этому действию примерно раз в две секунды. Это удобная отправная точка для ритма. Начнёте торопиться, и момент толчка будет смещаться относительно движения сиденья.
Чтобы говорить о колебаниях без путаницы, достаточно различать темп и размах. Период показывает, сколько времени занимает полный цикл. Частота показывает, сколько таких циклов происходит за секунду. Если цикл занимает две секунды, частота равна половине колебания в секунду, или 0,5 герца. Герц сокращённо записывают «Гц».
Время движения только из одного крайнего положения в другое составляет половину периода. Это частая ошибка в опытах с маятником: человек отсчитывает каждое прибытие к краю, а потом получает частоту вдвое больше настоящей. Для полного цикла нужно вернуться в то же положение с тем же направлением движения.
Амплитуда отвечает на другой вопрос: насколько далеко тело отклоняется от положения равновесия. У качелей можно измерять наибольший угол отклонения подвеса от вертикали. Двое качелей могут двигаться почти в одинаковом темпе, но одни едва покачиваются, а другие поднимаются высоко. Частота близкая, амплитуды разные.
Собственную частоту удобно обнаружить простым действием: слегка отклонить систему, отпустить и посмотреть, в каком темпе она колеблется без дальнейших толчков. При небольшом трении такой опыт хорошо показывает естественный темп движения.
У маятника с небольшим грузом на лёгкой нити темп зависит прежде всего от длины подвеса и ускорения свободного падения. Длинный маятник качается медленнее короткого. У груза на пружине важны масса и жёсткость пружины: более тяжёлый груз при той же пружине движется медленнее, более жёсткая пружина при той же массе возвращает его быстрее.
Большой предмет часто имеет сразу несколько собственных частот. Гитарная струна способна колебаться целиком и одновременно отдельными участками; мост может изгибаться и скручиваться разными способами. Каждый такой самостоятельный рисунок движения называют формой колебаний. Поэтому у реального предмета бывает несколько резонансных пиков.
В верхней точке качелей значительная часть механической энергии связана с высотой сиденья. По мере движения вниз она переходит в энергию движения. В нижней точке скорость наибольшая; затем сиденье поднимается с другой стороны, замедляясь. Если хочется подробнее проследить этот обмен, он разобран в статье о законе сохранения энергии.
При резонансе к этому обмену добавляется работа внешнего источника. Качели получают энергию от рук человека, колеблющийся электрический контур от источника напряжения, звучащая деталь от другого вибрирующего тела или звуковой волны. Резонанс делает передачу эффективной в определённом диапазоне частот. Поставщик энергии при этом вполне конкретный.
Почему качели не улетают в космос от терпеливого подталкивания? В реальном движении есть потери, а при большом размахе меняется сама картина колебаний. В простейшей модели с трением рост заканчивается, когда за один цикл источник передаёт столько энергии, сколько система за тот же цикл теряет. Колебания продолжаются с установившейся амплитудой.
Потери принято описывать словом «затухание». Если перестать воздействовать на систему, именно из-за них движение постепенно ослабевает. Небольшое затухание позволяет дольше сохранять внесённую энергию и получить выраженный резонансный отклик. Сильное затухание делает пик ниже и шире, а при достаточно больших потерях отчётливый пик амплитуды может исчезнуть.
У идеальной модели без потерь при точно совпавшей частоте амплитуда могла бы расти без ограничения. Такая модель помогает понять механизм. Настоящий предмет раньше столкнётся с сопротивлением, изменением свойств материала, ограничением хода или повреждением. Слово «резонанс» само по себе не сообщает, насколько большим окажется движение.
Представим опыт с грузом на пружине. Его подталкивает устройство, которое создаёт периодическую силу, плавно меняющуюся по синусоиде. Это ровный повторяющийся ход от максимума в одну сторону до максимума в другую. При каждом измерении максимальная величина этой силы одинакова. Меняется только частота. Ждём, пока размах перестанет заметно изменяться, измеряем амплитуду и отмечаем её на графике. Здесь амплитуда означает расстояние от положения равновесия до крайней точки; расстояние между двумя крайними точками вдвое больше.
По горизонтали идёт частота воздействия, по вертикали амплитуда отклика. В некоторой области появляется вершина: здесь одна и та же сила вызывает наибольшую амплитуду. Это резонансный пик. Он показывает избирательность системы: на один темп она отвечает заметнее, чем на соседний.
Возьмём конкретный учебный случай. Постоянная сила растягивает пружину на 1 см. Теперь будем действовать силой, которая плавно меняет направление, но достигает той же максимальной величины. Подберём массу и пружину так, чтобы собственная частота системы без трения составляла 1 Гц, один цикл в секунду.
На рисунке показаны два результата для этой системы. При небольших потерях на подходящей частоте амплитуда достигает примерно 6,3 см. При более сильных потерях максимум составляет около 1,5 см. Узкая высокая вершина соответствует меньшему затуханию; пологая кривая соответствует большему. Одинаковое усилие даёт разный результат, потому что энергия по-разному быстро теряется.
Эти сантиметры относятся к выбранной модели. Для другого груза и другой силы значения будут иными. Но принцип чтения графика сохранится: ищем вершину и смотрим, при какой частоте она возникает и какая амплитуда ей соответствует.
Заметьте, вершины находятся чуть левее отметки 1 Гц. У груза на пружине с сопротивлением, пропорциональным скорости, максимум амплитуды сдвинут ниже собственной частоты без потерь. При слабом затухании разница мала, при более сильном заметнее: на второй кривой вершина находится около 0,87 Гц. При ещё больших потерях отчётливой вершины может вообще не быть. Этот результат следует из уравнения вынужденных колебаний.
Поэтому школьное правило «частоты совпали» удобно как первый ориентир для слабого затухания. Для точного расчёта важно уточнить, что мы измеряем и какие потери учитываем. Наш график показывает именно амплитуду перемещения груза.
Когда говорят о высокой добротности, обычно имеют в виду, что колебательная система относительно мало теряет энергию за цикл. В простых слабо затухающих системах этому соответствует узкий резонансный пик. Для выбора радиостанции такая избирательность полезна; для детали машины, работающей рядом с опасной частотой, она может оказаться проблемой.
Щёлкните по натянутой струне. Она начнёт колебаться, но сама по себе тонкая струна сравнительно слабо передаёт энергию воздуху. В акустической гитаре движение через подставку передаётся корпусу, а тот взаимодействует с гораздо большей областью воздуха. Собственные колебания деки и воздуха внутри корпуса влияют на то, какие частоты звучат сильнее.
Это одна из причин, почему одинаковая нота на разных инструментах воспринимается по-разному. Нота имеет основную частоту, но вместе с ней звучат дополнительные составляющие. Сочетание их уровней и развитие звука во времени формируют тембр. Корпус инструмента работает с целым набором частот, поэтому объяснить его звучание одной «волшебной частотой дерева» не получится.
У камертонов эффект можно увидеть особенно чисто. Если два близко настроенных камертона хорошо связаны через воздух и резонаторные ящики, колебания одного способны возбудить второй. Его ножки получают слабое периодическое воздействие, но откликаются сильнее вблизи собственной частоты. При заметной расстройке передача становится менее эффективной.
С бокалом происходит похожая по основному принципу история. Его стенки имеют собственные частоты. Достаточно сильный звук подходящей частоты может вызвать большие колебания одной из форм, а при неблагоприятных условиях разрушить стекло. Для этого недостаточно просто взять высокую ноту: важны конкретный бокал, частота, уровень звука и потери. Повторять опыт с разрушением стекла дома не стоит; маятник показывает ключевую идею безопаснее.
Воздух тоже способен образовать колебательную систему. Например, в бутылке воздух у горлышка движется туда и обратно, а воздух в основной полости сжимается и расширяется. Вместе они напоминают массу и пружину. Если добавить воды, воздушная полость уменьшится и тон при подходящем возбуждении обычно станет выше. Здесь речь именно о воздушном резонансе при обдувании горлышка; удар по стеклу возбуждает другую систему.
Подробнее о том, как колебания превращаются в изменения давления и доходят до уха, можно прочитать в статье о звуке. Резонанс объясняет, почему некоторые из этих колебаний предмет поддерживает особенно охотно.
У радиоприёмника другая задача: из множества сигналов, которые принимает антенна, выбрать нужную полосу частот. С этим помогают электрические колебательные цепи. В простейшем варианте работают две детали: конденсатор, способный накапливать заряд на двух разделённых проводящих поверхностях, и катушка из провода. Конденсатор запасает энергию в электрическом поле, катушка в магнитном.
В такой цепи заряд может перетекать между поверхностями конденсатора через катушку, меняя направление. Энергия при этом переходит между электрическим и магнитным полями. Получаются колебания со своим естественным темпом. Цепь называют LC-контуром: L обозначает индуктивность, характеристику катушки, C ёмкость, характеристику конденсатора. Меняя детали, можно изменить этот темп. Сигналы вблизи настроенной частоты вызывают более сильный отклик цепи, чем сигналы соседних частот. В классическом радиоприёмнике настроенные цепи помогают выделить нужную полосу сигнала среди множества поступающих колебаний. Современный приёмник может дополнительно использовать сложную цифровую обработку, но идея частотного отбора сохраняется.
Для проверки связи между деталями и частотой откройте калькулятор резонансной частоты RLC-контура. Выберите поиск частоты, задайте индуктивность 1 мГн и ёмкость 1 нФ. Получится около 159 кГц. Если увеличить ёмкость в четыре раза, до 4 нФ, частота уменьшится вдвое, примерно до 79,6 кГц. Это учебные параметры, а не схема готового приёмника.
Калькулятор показывает частоту идеального контура. Чтобы узнать, какой ток потечёт и насколько узким будет отклик реальной цепи, нужно дополнительно учитывать сопротивление и способ подключения. Эти электротехнические подробности разобраны отдельно в статье о резонансе в RLC-контуре.
Иногда корпус прибора заметно гудит только на определённой скорости. Причина может быть в том, что периодические силы от вращения возбуждают одну из собственных форм корпуса или опоры. На соседних скоростях совпадение хуже и вибрация слабее. При этом само наличие дрожи ещё не устанавливает диагноз: дисбаланс, ослабленное крепление и удары тоже вызывают вибрации.
Инженер может изменить массу или жёсткость конструкции и тем самым сдвинуть её собственные частоты. Другой путь состоит в увеличении потерь: часть энергии уходит в демпфер, устройство для гашения колебаний. Третий путь связан с уменьшением силы, которая возбуждает движение, например с балансировкой вращающейся детали. Выбор зависит от источника и формы колебаний.
У этих решений бывают побочные эффекты. Если просто сделать опору мягче, её собственная частота тоже изменится. В одних условиях это уменьшит передачу вибрации, в других приблизит систему к нежелательному режиму. Поэтому совет «подложите что-нибудь мягкое» не заменяет инструкцию к прибору и проверку креплений.
Для моста важно, как нагрузка распределена во времени и по конструкции. Одинаковый ритм шагов может создавать более согласованное периодическое воздействие, чем несинхронная ходьба. Но реальный отклик зависит от формы колебаний, числа людей, положения нагрузки и потерь. История про «любое совпадение частот обязательно разрушает мост» пропускает почти всю инженерную задачу.
Знаменитый Такомский мост, разрушившийся в 1940 году, часто приводят как простейший пример резонанса от периодических порывов ветра. Для разрушительного крутильного движения такое объяснение неверно. Как объясняет транспортное ведомство штата Вашингтон, ключевым механизмом был аэроупругий флаттер: движение моста меняло воздействие воздушного потока, а тот передавал энергию движению. Получалась обратная связь, способная поддерживать и усиливать колебания.
При обычном вынужденном резонансе источник задаёт внешний ритм, а система на него отвечает. При флаттере силы и движение взаимно формируют друг друга. В обоих случаях видны колебания и рост их размаха, но для защиты от них важно понимать именно механизм. Одного эффектного видео для этого мало.
Для опыта достаточно лёгкой прочной нити, небольшого мягкого груза, устойчивой опоры, линейки и секундомера. Груз должен быть надёжно закреплён, а вокруг оставаться свободное место. Подойдёт небольшой плотно завязанный мешочек с крупой. Стекло и тяжёлые металлические предметы для этой задачи не нужны.
Сначала сделайте расстояние от точки подвеса до центра груза около 25 см. Отведите груз в сторону на небольшой угол, примерно 5–10 градусов, и отпустите без толчка. Выберите одну крайнюю точку и измерьте время десяти полных возвращений в неё. Момент отпускания считайте нулём; первое возвращение в ту же точку даст первое полное колебание. Разделите результат на десять: так вы получите средний период и уменьшите относительную ошибку реакции на секундомер.
Для маятника длиной 25 см при земном ускорении свободного падения ожидается примерно 1,00 секунды на цикл, то есть около 10 секунд на десять колебаний. Удлините подвес до 1 м, сохранив тот же груз и небольшой начальный угол. Ожидаемый период станет примерно 2,01 секунды, а десять колебаний займут около 20 секунд.
Проверить значения можно в калькуляторе периода маятника. Выберите период, введите длину 0,25 м или 1 м и оставьте g = 9,80665 м/с². Здесь g показывает ускорение свободного падения. Расчёт относится к математическому маятнику: маленькому грузу на лёгком подвесе при малых углах. Качели с человеком и сложным подвесом соответствуют этой модели лишь приближённо.
Длина увеличилась в четыре раза, период только в два. Уже это даёт полезный вывод: темп колебаний определяется устройством системы, а не нашим желанием быстрее отсчитывать секунды. Смена груза при той же длине в идеальной модели не меняет период. В реальном опыте важно сохранять расстояние до центра нового груза и учитывать сопротивление воздуха.
Пока вы измерили свободные колебания, а не сам резонанс. Следующий шаг помогает почувствовать разницу. На метровом маятнике давайте очень слабый короткий толчок каждый раз, когда груз проходит середину в одну и ту же сторону, примерно раз в две секунды. Сила должна быть направлена по движению. Если толчки восполняют потери и добавляют немного энергии сверх этого, размах будет увеличиваться. Остановитесь на небольших отклонениях.
Такое подталкивание иллюстрирует согласованную передачу энергии. Для настоящего измерения резонансной кривой пришлось бы поддерживать одинаковую силу воздействия, задавать разные частоты и каждый раз ждать установившегося движения. Рукой эти условия трудно соблюсти. Но понять, почему своевременный толчок полезнее случайного, можно и без лабораторной установки.
Если рядом звучат две близкие частоты, громкость может периодически усиливаться и ослабевать. Это биения. Например, два чистых тона 440 и 442 Гц дают медленную пульсацию с частотой 2 Гц. Волны то складываются удачно, то частично компенсируют друг друга. Для такого эффекта не требуется резонансного накопления энергии в отдельном предмете.
Громкий звук тоже не обязательно связан с резонансом. Можно просто увеличить мощность источника. Резонанс обнаруживается при сравнении отклика на разные частоты в одинаковых условиях: одна область выделяется сильнее остальных. Фраза «стало громче» описывает наблюдение, но ещё не его причину.
В выражении «новость вызвала общественный резонанс» слово используется переносно и означает широкий отклик людей. Здесь речь об общественном внимании, а не об измерении механических колебаний.
Когда в следующий раз что-то загудит, зазвенит или начнёт раскачиваться, попробуйте назвать три вещи: что колеблется, откуда поступает энергия и что задаёт ритм. Если эти ответы найдены, слово «резонанс» перестаёт быть объяснением всего подряд. Оно становится проверяемой гипотезой о том, почему именно на этом ритме движение усиливается.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.