Чтобы быстрее считать в уме, заменяйте неудобное действие несколькими простыми: округляйте число и возвращайте поправку, разбивайте его на удобные части, собирайте проценты из половин и десятых. Например, четыре покупки по 198 рублей стоят 200 × 4 − 2 × 4 = 792 рубля. Начинайте с чисел, с которыми легко работать.
На примерах покупок, сдачи и скидок вы научитесь выбирать короткий путь, не путать знак поправки и проверять, похож ли ответ на правду. В конце можно сразу попробовать эти приёмы на новых числах.
В статье вы узнаете:
Допустим, нужно купить четыре одинаковые упаковки по 198 рублей. Первое полезное наблюдение: каждая стоит почти 200 рублей. Четыре раза по 200 легко посчитать: 800 рублей. Это пока оценка сверху, поскольку мы увеличили цену каждой упаковки.
Теперь вернёмся к настоящей цене. В каждой упаковке учли лишние 2 рубля. Упаковок четыре, поэтому лишних рублей тоже четыре пары: 2 × 4 = 8. Вычитаем их из 800 и получаем 792 рубля.
198 × 4 = 200 × 4 − 2 × 4 = 800 − 8 = 792.
Здесь легко получить 798, если вычесть поправку только один раз. Но подмена произошла четыре раза, по одному на каждую упаковку. Полезно проговорить себе: «по двести, минус по два». Тогда число восемь появляется из смысла покупки, а не из правила, которое надо вспомнить.
Заодно можно проверить направление ответа. Четыре упаковки дешевле 200 рублей каждая должны стоить меньше 800. Значение 808 сразу подозрительно: вместо того чтобы убрать лишние деньги, мы их прибавили. А 792 согласуется с ценниками и отличается от круглой суммы ровно на восемь рублей.
Считать таким способом удобно, когда до круглого числа близко. Для 198 это два рубля. Для 163 понадобилась бы поправка 37 × 4, которая сама требует расчёта. В таком случае можно взять 160 × 4 + 3 × 4 = 640 + 12 = 652. Круглое число не обязано оканчиваться двумя нулями: достаточно, чтобы с ним стало проще.
Перед вычислением дайте себе секунду на выбор первого шага. Есть ли рядом десяток или сотня? Можно ли соединить числа в круглую сумму? Получится ли разделить задачу на две знакомые части? Эта короткая остановка помогает увидеть более простой расчёт.
Возьмём сумму 38 + 47 + 62. Если идти слева направо, сначала получится 85, затем надо прибавить 62. Но 38 и 62 вместе дают 100, поэтому удобнее начать с них: 100 + 47 = 147. При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, сумма сохранится.
Для двух чисел иногда проще начать с десятков. В примере 46 + 32 к 46 прибавляем 30, получаем 76, затем ещё 2: ответ 78. Перебирать единицы по одной долго, а цепочка «46, 76, 78» удерживает только текущий результат.
Удобство зависит от того, какие действия уже знакомы. Один человек посчитает 16 × 4 двумя удвоениями: 16, 32, 64. Другой сразу вспомнит 64. Оба способа подходят. Если приходится держать три поправки и несколько промежуточных чисел, стоит выбрать другой путь или записать часть расчёта.
Перестановка без изменения смысла работает для сложения и умножения. С вычитанием и делением так обращаться нельзя: 12 − 5 и 5 − 12 дают разные ответы, как и 12 ÷ 3 и 3 ÷ 12. Поэтому сначала смотрите на знак действия, затем перестраивайте пример.
В сумме 597 + 268 первое число почти равно 600. Добавляем недостающие 3 и получаем удобный промежуточный результат: 600 + 268 = 868. Но исходная сумма была на 3 меньше. Возвращаем поправку и получаем 865.
597 + 268 = 600 + 268 − 3 = 865.
Этот приём часто называют компенсацией: сначала меняют число ради удобства, затем компенсируют изменение. В данном случае полезно держать в голове короткую фразу «взял три лишних». Она подсказывает, что в конце надо вычесть, даже если название приёма уже забыто.
Можно обойтись вообще без поправки в конце. Заберём 3 у второго числа и передадим первому: вместо 597 + 268 получится 600 + 265. Всего ничего не добавилось и не убавилось, поэтому ответ остаётся 865. Выбирайте один из этих путей; одновременно использовать оба нельзя, иначе тройка будет учтена дважды.
Если округлить вычитаемую цену вверх, лишнее вычитание придётся вернуть. Покупка стоит 497 рублей, вы отдаёте 1000. Для начала вычтем 500: останется 500 рублей. Мы вычли на 3 рубля больше цены, значит, эти 3 нужно вернуть. Сдача равна 503 рублям.
1000 − 497 = 1000 − 500 + 3 = 503.
Та же сдача находится движением вверх от цены к купюре. От 497 до 500 не хватает 3 рублей, от 500 до 1000 ещё 500. Складываем эти расстояния: 3 + 500 = 503. Такой ход особенно удобен, когда трудно вычитать через несколько нулей: можно просто спросить, сколько надо добавить к меньшему числу.
Чтобы не учить отдельную памятку знаков, проверяйте смысл: что произошло с промежуточным ответом после замены? Если сумму завысили, уберите лишнее. Если вычли слишком много и остаток занизили, верните разницу. Для покупки дешевле 500 сдача с тысячи должна быть больше 500. Это проверка, которую можно сделать ещё до точного ответа.
Предположим, нужно взять 15 тетрадей по 24 рубля. Пятнадцать удобно представить как десять и ещё пять. Десять тетрадей стоят 240 рублей, пять стоят вдвое меньше: 120 рублей. Вместе получится 360 рублей.
24 × 15 = 24 × (10 + 5) = 240 + 120 = 360.
Скобки здесь показывают, на какие части разделили количество. Цена 24 рубля относится к обеим частям: и к десяти тетрадям, и к пяти. Ошибочная запись 24 × 10 + 5 дала бы стоимость десяти тетрадей и ещё пяти рублей. По самой истории покупки видно, что единицы смешались.
Разбиение работает и в другую сторону. Можно представить 24 как 20 + 4 и посчитать 20 × 15 + 4 × 15 = 300 + 60 = 360. Оба пути верны. Первый удобнее тому, кому легко найти половину 240; второй тому, кто сразу видит 15 × 4. Выбирать разбиение стоит по промежуточным действиям, а не по тому, какое число стоит первым.
Для умножения на 25 есть короткий обход: 25 составляет четверть сотни. Поэтому число можно разделить на 4, затем умножить на 100. Например, 48 × 25: четверть от 48 равна 12, двенадцать сотен дают 1200.
48 × 25 = (48 ÷ 4) × 100 = 12 × 100 = 1200.
Этот путь особенно приятен, когда число делится на 4 нацело. С числом 18 тоже всё верно: 18 ÷ 4 = 4,5, затем 4,5 × 100 = 450. Но если десятичные дроби пока мешают, можно взять половину от 18 × 50: половина от 900 равна 450. Приём полезен, пока он облегчает именно ваш расчёт.
Шесть человек поровну делят счёт на 936 рублей. Число 936 удобно разложить на 900 и 36, потому что обе части делятся на 6. Сначала каждому приходится 150 рублей из первых 900, затем ещё 6 рублей из оставшихся 36. Итого 156 рублей с человека.
936 ÷ 6 = 900 ÷ 6 + 36 ÷ 6 = 150 + 6 = 156.
Части не обязаны совпадать с сотнями, десятками и единицами. Для 816 ÷ 8 удобнее взять 800 и 16: получится 100 + 2 = 102. Если разложить 816 на части 800, 10 и 6, ответ тоже можно найти, но две последние части дадут дроби. Хорошее разбиение избавляет от этой лишней работы.
Обратите внимание, что на части делится само число, а делитель остаётся прежним. Нельзя превратить 936 ÷ 6 в 936 ÷ 3 + 936 ÷ 3: так вы дважды разделите всю сумму между тремя людьми и затем сложите результаты. Получится 624, а не доля одного из шести.
После деления проверьте результат обратным действием. Если получилось 156 рублей на человека, шесть человек соберут 150 × 6 + 6 × 6 = 900 + 36 = 936 рублей. Сумма сошлась, никто не оплачивает чужую долю из-за потерянного десятка.
Один процент означает одну сотую часть числа. Для устного счёта чаще удобно начать с 10%: разделить сумму на 10. Затем можно получить 5% как половину от 10%, а 20% как две такие десятые части. Для 50% достаточно разделить исходное число пополам, для 25% на четыре.
Пусть вещь стоит 2400 рублей, а скидка составляет 15%. Десять процентов от цены равны 240 рублям. Пять процентов вдвое меньше, то есть 120 рублей. Вся скидка равна 240 + 120 = 360 рублей. Теперь вычитаем её из цены: 2400 − 360 = 2040 рублей к оплате.
В этом примере два разных ответа на два разных вопроса. 360 рублей показывают размер скидки, 2040 рублей показывают новую цену. Если на кассе нужно заплатить за вещь, расчёт не заканчивается на найденных процентах. Калькулятор скидки показывает и экономию, и цену к оплате: это удобная проверка двух ответов.
Для менее круглого процента можно начать с 1%. Например, 3% от 700 равны трём долям по 7, то есть 21. А 12% от 700 можно собрать как 10% и 2%: 70 + 14 = 84. Деление на 100 особенно удобно, когда после него остаётся короткое число.
Каждый раз называйте сумму, от которой берёте процент. Если после скидки 10% на цену 1000 рублей дают ещё 10% от оставшейся цены, сначала получится 900, затем 810 рублей. Вторые 10% равны уже 90 рублям. Складывать такие скидки в 20% нельзя: проценты посчитаны от разных сумм.
Для прикидки скидка 15% должна быть больше десятой части цены и меньше пятой. У вещи за 2400 рублей это между 240 и 480 рублями. Полученные 360 попадают в этот промежуток. Ответ 36 рублей уже не пройдёт такую проверку: потерян разряд.
Проверка полезнее, если идёт другим путём. Повторив те же действия, легко повторить и ту же ошибку. Сначала оцените размер ответа, затем при необходимости используйте обратное действие или другой способ разбиения.
Для 597 + 268 можно прикинуть 600 + 270 = 870. Точная сумма должна быть немного меньше, поскольку оба числа округлены вверх. Ответ 865 выглядит правдоподобно, а 965 уже нет. Такая оценка ловит грубый промах, но не доказывает, что между 864 и 865 выбрано верное число.
Чтобы проверить точнее, вычтите одно слагаемое из результата: 865 − 268 = 597. Можно действовать частями: 865 − 200 = 665, затем минус 60 даёт 605, минус 8 даёт 597. Здесь проверка не повторяет округление к 600 и помогает поймать ошибку в поправке.
Если нужны точные деньги до копейки или в цепочке уже несколько скидок и доплат, итог удобно проверить на обычном калькуляторе. Для проверки покупки введите исходные 198 × 4, а не только уже полученные 800 − 8. Так проверяется вся замена, включая размер поправки.
Если трудность возникает ещё до вычислений, начните с перевода условия задачи в уравнение. На примере покупки билетов можно увидеть, откуда берутся действия и скобки, а затем уже выбрать удобный способ счёта.
Для короткой практики возьмите пять примеров. Сначала скажите, какое число будете менять или делить на части. Затем посчитайте и проверьте итог. Без секундомера легче заметить, где теряется поправка, а где мешает базовое умножение.
В первом примере 400 + 157 − 2 = 555. Во втором 1000 − 700 + 2 = 302. Для умножения получаем 32 ÷ 4 × 100 = 800. Деление можно собрать из 700 ÷ 7 и 28 ÷ 7: 100 + 4 = 104. Проценты дают 60 + 30 = 90.
Если ответ не сошёлся, найдите первый неверный шаг. Например, 298 вместо 302 означает, что после лишнего вычитания ещё два вычли, хотя нужно было вернуть. Следующий пример выбирайте на ту же трудность: 1000 − 799. Здесь после вычитания 800 надо прибавить 1, поэтому ответ 201.
Когда ход решения понятен, но каждое маленькое произведение требует паузы, отдельно потренируйте его в тренажёре таблицы умножения. Там можно задать числа в полях «От» и «До», выбрать множитель и отвечать выбором из предложенных вариантов. Для начала подойдёт диапазон от 1 до 10 и один множитель, в котором вы сомневаетесь. Как восстановить и запомнить базовые произведения, подробно объясняет статья о таблице умножения.
Для следующей покупки выберите одну цену рядом с круглым числом и посчитайте несколько одинаковых товаров. До ответа назовите поправку: сколько лишнего получилось на одном товаре и сколько на всех. Если эти два числа ясны, вы уже управляете расчётом и можете объяснить, откуда взялась итоговая сумма.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.