Калькулятор резонатора Гельмгольца

Сечение горлышка	3,14159 см²
Длина волны	2,50663 м

Почему бутылка гудит на одной частоте

Пустая бутылка и бутылка с водой с разными объёмами воздуха под горлышком

Резонатор Гельмгольца представляет собой полость с воздухом и узким отверстием: знакомый пример получается, если подуть поперёк горлышка пустой бутылки. Для объёма 1 л, внутреннего диаметра 2 см и эффективной длины горлышка 5 см расчёт даёт примерно 136,84 Гц при скорости звука 343 м/с. Это частота собственных колебаний воздуха в принятой модели.

Воздух в горлышке движется вперёд и назад как небольшой груз. Воздух в широкой части сжимается и расширяется, выполняя роль пружины. Сильнее подули, передали больше энергии, но размеры бутылки от этого не изменились. Название связано с немецким физиком и физиологом Германом фон Гельмгольцем, который исследовал воздушные резонансы в 1850-х годах и использовал такие полости для выделения отдельных частот звука.

Механическую аналогию можно проверить на калькуляторе пружинного маятника. Увеличение массы замедляет колебания, увеличение жёсткости ускоряет. У бутылки нужные свойства задаются объёмом воздуха и геометрией горлышка, поэтому вместо массы груза и жёсткости здесь вводятся размеры.

Как связаны объём, горлышко и частота

Для жёсткой полости с одним круглым горлышком частота вычисляется по формуле:

\displaystyle f=\frac{c}{2\pi}\sqrt{\frac{S}{V L_{\mathrm{eff}}}}

Здесь f обозначает частоту в герцах, c скорость звука в метрах в секунду, S площадь сечения горлышка в квадратных метрах, V объём воздуха в кубических метрах, а L_eff эффективную длину в метрах. Герц означает одно колебание в секунду. Для круглого отверстия площадь связана с внутренним диаметром d:

\displaystyle S=\frac{\pi d^2}{4}

Форма принимает привычные литры и сантиметры, затем переводит их в СИ. Один литр равен 0,001 м³, сантиметр равен 0,01 м. При диаметре 2 см площадь составляет примерно 3,1416 см², или 0,00031416 м². Подставлять в одну формулу литры, квадратные сантиметры и метры без перевода нельзя: ошибка получится значительно больше погрешности измерения.

В объём входит именно воздух широкой полости. Если внутри лежит массивная деталь или налита вода, её объём нужно вычесть. Размер корпуса по внешним стенкам тоже не подходит. Для коробки сначала измерьте внутренние стороны, а для бутылки удобнее определить вместимость водой до начала горлышка.

Какую длину горлышка вводить

Эффективная длина включает физическую длину канала и добавки с обоих концов. Воздух движется также возле входа и выхода: колеблющаяся масса не заканчивается точно на срезе трубки. Поэтому измеренная линейкой длина обычно меньше нужного для формулы значения.

\displaystyle L_{\mathrm{eff}}=L+\delta_{\mathrm{in}}+\delta_{\mathrm{out}}

Величины δ описывают эти концевые поправки. Они зависят от радиуса, формы краёв, близости стенок и того, выходит ли трубка в широкую плоскую стенку. Для одного приближения к бутылочному горлу принимают около одного радиуса внутри и 0,6 радиуса снаружи. Это оценка для определённой геометрии, а не постоянная добавка для любого отверстия.

Если поправки известны из модели вашего корпуса, сложите их с физической длиной и введите готовый результат. Для короткого горла добавки могут составлять заметную часть всей эффективной длины. Калькулятор ничего не прибавляет скрыто: иначе уже скорректированное значение получило бы поправку второй раз.

Как изменить тон и проверить размеры

В следующих примерах длина всегда эффективная, отверстие круглое, а скорость звука равна 343 м/с, кроме отдельного сравнения двух скоростей. Меняя один параметр, можно понять, какое изменение конструкции приведёт к нужному направлению настройки.

Бутылка с водой. Начните с 1 л воздуха, диаметра 2 см и длины 5 см: получится 136,84 Гц. Если вода займёт половину полости, останется 0,5 л воздуха и частота вырастет до 193,52 Гц. Рост составляет примерно 41%, а не 100%. Пара бутылок превращается в учебный инструмент, если сравнивать именно остаток воздуха, а не налитые миллилитры.

Выбор более крупного корпуса. При диаметре 2 см и длине 5 см увеличение полости с 1 до 4 л снижает частоту с 136,84 до 68,42 Гц. Четырёхкратный объём даёт вдвое более низкий тон. Для небольшого корпуса желание получить низкую частоту быстро превращается в вопрос о свободном месте внутри, а не о количестве знаков после запятой.

Удлинение канала. Сохраните объём 1 л и диаметр 2 см, но замените эффективную длину 5 см на 20 см. Частота также упадёт до 68,42 Гц. Это другой способ настройки без увеличения полости. Если трубка входит внутрь корпуса, учитывайте занятый ею объём и проверьте, что канал всё ещё короток по сравнению с длиной волны.

Радиус вместо диаметра. Для 1 л и длины 5 см диаметр 4 см даёт 273,67 Гц. Если отверстие имеет радиус 2 см, именно 4 нужно ввести в поле диаметра. Ввод 2 уменьшит площадь вчетверо, а частоту вдвое. Это удобная проверка подозрительно низкого ответа, прежде чем переделывать корпус.

Другая скорость звука. При 1 л, 2 см и 5 см замена скорости 343 м/с на 331 м/с меняет частоту с 136,84 до 132,05 Гц. Снижение примерно на 3,5% совпадает с изменением скорости. Для сравнения геометрии оставляйте одну скорость, а при переносе опыта в другую среду задавайте скорость, соответствующую её условиям.

Поправка к короткому горлу. У полости 1 л с диаметром 2 см физическая длина составляет 5 см. Если для выбранной геометрии суммарная поправка принята равной 1,6 см, ввести нужно 6,6 см. Получится 119,10 Гц вместо 136,84 Гц при пропуске поправки. Ошибка почти в 18 Гц объясняется исходными данными, а дополнительное округление её не исправит.

Что проверить перед изготовлением

Модель предполагает, что размеры полости и горлышка существенно меньше длины звуковой волны. Тогда воздух внутри полости можно считать сжимающимся почти одновременно. В начальном примере длина волны равна примерно 2,507 м. Её следует сравнить с размерами реального предмета; одного объёма для такой проверки недостаточно, поскольку литровая полость может быть компактной или сильно вытянутой.

Для другого сочетания частоты и среды используйте калькулятор длины звуковой волны. Если характерный размер уже сравним с волной, распределение давления внутри нельзя заменять одним общим значением. Тогда нужна модель собственных колебаний полости с учётом её формы.

Частота резонанса сама по себе не показывает, насколько громким будет звук или на сколько децибел уменьшится шум. Для поглощения важны потери, расположение резонатора и связь с окружающим пространством. Утечки, гибкие стенки и пористое заполнение меняют работу конструкции. Настройка акустического поглотителя поэтому заканчивается измерением, а расчёт помогает выбрать исходные размеры.

Для домашнего опыта можно менять уровень воды, записывать звук и смотреть пик на частотном спектре. Такой эксперимент с бутылкой и смартфоном описали Monteiro и соавторы. Сравнивайте несколько объёмов: одна удачная точка ещё не показывает, что геометрия горлышка выбрана правильно. [Monteiro et al., 2018]

Вопросы о настройке резонатора

Отдельного внимания требуют несколько отверстий, необычная форма канала и корпуса музыкальных инструментов. В этих случаях похожий внешний вид ещё не означает одинаковую расчётную схему.

Что изменится, если сделать два одинаковых горлышка?

Для двух независимых одинаковых горлышек с той же эффективной длиной и одной полостью суммарная площадь удвоится, а частота в идеальной модели возрастёт в √2 раза. Но близкие отверстия влияют на концевые поправки друг друга. Поле диаметра здесь относится к одному круглому горлышку; для нескольких каналов сначала нужна отдельная проверка их взаимодействия.

Можно ли рассчитать прямоугольную щель через равную площадь?

Равная площадь позволяет сохранить член S, но не определяет концевые поправки. У щели и круглого отверстия с одинаковой площадью эффективные длины могут различаться. Подстановка эквивалентного диаметра допустима только когда эффективная длина щели уже получена из подходящей модели или измерений.

Что вводить для отверстия в тонкой стенке без трубки?

Физическая длина близка к толщине стенки, однако эффективная остаётся ненулевой из-за движения воздуха с обеих сторон. Нельзя подставлять ноль и ожидать бесконечную частоту. Для такого отверстия основную часть эффективной длины могут составлять именно концевые поправки.

Можно ли найти нужный объём под заданную частоту?

Да: V = c²S / (4π²f²Leff). При неизменных горлышке и скорости снижение частоты вдвое требует увеличить объём вчетверо. Например, исходная полость 1 л с ответом 136,84 Гц потребует около 4 л для 68,42 Гц. После изменения корпуса проверьте, не изменились ли условия у внутреннего конца горлышка.

Почему расчёт для акустической гитары расходится с измерением?

Дека и другие стенки гитары могут двигаться вместе с воздухом, добавляя системе податливость. Простая формула предполагает жёсткий корпус. Кроме того, отверстие в деке отличается от длинного цилиндрического горлышка. Поэтому расчёт воздушной полости не заменяет модель связанных колебаний корпуса и воздуха.

Можно ли узнать ширину полосы поглощения по частоте?

Нет. Две конструкции с одинаковой частотой могут иметь разные потери и ширину резонанса. Добротность Q связывают с отношением резонансной частоты к ширине полосы, определённой по выбранному критерию измерения. Для оценки Q нужны дополнительные параметры или спектр, а четырёх геометрических и физических входов этой формы недостаточно.

Как измерить диаметр, если горлышко сужается?

Диаметра у самого края недостаточно: воздух движется по всему каналу, а его сечение меняется. Простая формула предполагает цилиндрическое горлышко с постоянной площадью. Для заметного сужения потребуется модель переменного сечения или экспериментальная настройка. Не принимайте минимальный диаметр за точную замену всего канала.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.