Калькулятор длины волны де Бройля

Какую волну связывают с движением частицы

Учебный прибор для электронной дифракции с кольцами на круглом экране

Для электрона с кинетической энергией 150 эВ длина волны де Бройля составляет около 100,13 пм, то есть 0,10013 нм. Это пространственный период волнового описания его движения. Калькулятор находит его по энергии выбранного электрона, протона или нейтрона, учитывая релятивистский импульс при любой энергии.

Луи де Бройль предложил в 1924 году описывать движущиеся частицы материи как волны. Такая длина волны помогает понимать дифракцию: после взаимодействия с упорядоченной структурой частицы распределяются по направлениям с характерными максимумами. Прибор регистрирует отдельные попадания, а волновая закономерность проявляется в их общей картине. Электрон при этом не превращается в маленькую верёвку, колеблющуюся по синусоиде.

Частица, энергия и единицы

Выбор частицы задаёт её массу покоя. В расчёте массы электрона, протона и нейтрона составляют соответственно около 9,10938·10⁻³¹, 1,67262·10⁻²⁷ и 1,67493·10⁻²⁷ кг. При одинаковой кинетической энергии более тяжёлая частица имеет больший импульс и более короткую волну. Заряд в этой связи отдельно не участвует: нейтрон тоже проявляет волновые свойства.

Кинетическая энергия K относится к движению и не включает энергию покоя mc². Полная энергия равна K + mc². Подстановка полной энергии в поле вместо кинетической дала бы другую длину волны, даже если число аккуратно переведено в нужные единицы.

Электронвольт, эВ, является единицей энергии. 1 эВ = 1,602176634·10⁻¹⁹ Дж; 1 кэВ = 1000 эВ. Пикометр равен 10⁻¹² м, нанометр содержит 1000 пм, ангстрем 100 пм. Поэтому стартовый ответ около 100 пм находится в масштабе одного ангстрема. Менять единицу полезно для сравнения, но результат остаётся одной и той же длиной.

Как энергия определяет импульс и длину волны

Основное соотношение использует модуль импульса p:

\lambda = \frac{h}{p}

h обозначает постоянную Планка, 6,62607015·10⁻³⁴ Дж·с. Для массивной свободной частицы релятивистская связь энергии с импульсом позволяет выразить длину волны через K:

\lambda = \frac{hc}{\sqrt{K(K+2mc^2)}}

В этой записи K выражена в джоулях, масса m в килограммах, c = 299792458 м/с, а длина волны получается в метрах. В форме энергия вводится в эВ и результат выводится в пм; перевод единиц уже включён в расчёт. Постоянные h и c заданы точно в СИ, массы частиц измерены экспериментально.

При K намного меньше энергии покоя формула приближается к h/√(2mK). В таком режиме увеличение K вчетверо примерно вдвое сокращает волну. Для связи небольшой скорости с энергией подходит классический расчёт кинетической энергии. При высокой энергии это приближение перестаёт работать: тогда λ уменьшается примерно обратно пропорционально K. Энергия покоя электрона около 511 кэВ, протона около 938 МэВ, поэтому граница малого относительного K для них различается.

Сравнение частиц и способов задания энергии

Выбор частицы в учебном пучке. При одной и той же энергии 150 эВ электрон имеет волну 100,129913 пм, протон 2,336906 пм. Разница примерно в 42,85 раза возникает из-за масс. Если задача говорит о протоне, нельзя оставить электрон только потому, что его название знакомее. Численная энергия без выбора частицы ещё не определяет импульс.

Электроны с энергией 200 кэВ. В поле энергии нужно поставить 200000 эВ. Релятивистская длина волны равна 2,507934 пм. Классическая формула дала бы 2,742372 пм, примерно на 9,35% больше. Для сравнения дифракционных масштабов это уже заметная ошибка. Короткая волна сама по себе не означает, что прибор различит детали такого же размера: свойства оптики и образца рассчитываются отдельно.

Медленные нейтроны. Для нейтрона с заданной энергией 0,025 эВ получается 180,89136 пм, или 0,180891 нм. При увеличении энергии до 0,1 эВ длина волны станет примерно 90,4457 пм. Энергия выросла вчетверо, волна сократилась почти вдвое. Здесь задана энергия конкретной частицы; в тепловом пучке есть распределение энергий, а не один общий K для всех нейтронов.

Ускорение электрическим напряжением. Электрон, начавший почти из покоя и набравший без потерь энергию на ускоряющей разности потенциалов 300 В, получает K ≈ 300 эВ. Его длина волны около 70,79735 пм. Числа совпадают благодаря величине заряда электрона, но вольт и электронвольт остаются разными единицами. Для нейтрона тот же приём неприменим: он не имеет электрического заряда.

Электроны после поглощения света. Возьмём свет 300 нм и работу выхода 2 эВ. Максимальная кинетическая энергия в простой модели составляет 2,1328066 эВ, соответствующая длина волны электрона около 839,779 пм. Этот ответ относится к самым энергичным фотоэлектронам и задаёт минимальную волну для указанного энергетического предела. Остальные электроны могут иметь меньшую энергию и большую длину волны. Сам порог и энергию определяет калькулятор фотоэффекта; энергию падающего света отдельно даёт расчёт энергии фотона.

Подбор энергии для заданной волны. Пусть требуется учебный электронный пучок с λ = 10 пм. Из связи импульса с полной энергией получается K около 14826,12 эВ, то есть 14,82612 кэВ. Ввод этой энергии позволяет проверить прямой расчёт: волна около 10 пм. Это определяет энергетический масштаб, а не настройки готового прибора: разброс энергий, геометрия и взаимодействие с образцом в эту задачу не входят.

Что означает полученное число

Длина волны относится к состоянию частицы с заданным импульсом в выбранной системе отсчёта. Она не является размером электрона, протона или нейтрона. Для пучка с заметным разбросом энергий одно значение будет характеристикой выбранной энергии, а не полным описанием всех частиц.

Калькулятор рассматривает свободную частицу с положительной кинетической энергией. Он не определяет состояния связанного электрона в атоме, квантовые уровни, вероятности рассеяния или размер изображения в микроскопе. Релятивистская формула сохраняет связь энергии и импульса при большом K, но не заменяет модель конкретного эксперимента. Шесть значащих цифр помогают проверить арифметику; точность физического результата зависит также от того, насколько хорошо известна энергия.

Вопросы о волне частицы

Для интерпретации важны система отсчёта, ширина энергетического распределения и различие между пространственным периодом и движением самой частицы.

Меняется ли знак длины волны при смене направления движения?

Нет. Положительная длина волны связана с модулем импульса. Поворот движения меняет направление волнового вектора, а не знак λ. Знак электрического заряда влияет на ускорение в поле, но при уже заданных массе и кинетической энергии отдельно в формулу не входит.

Будет ли длина волны одинаковой для разных наблюдателей?

Не обязательно. Кинетическая энергия и импульс зависят от движения относительно наблюдателя, поэтому изменится и λ=h/|p|. Нужно задавать энергию в той системе отсчёта, для которой решается задача. Масса покоя остаётся той же; одной сменой единиц такой переход выполнить нельзя.

У фотона с энергией 150 эВ такая же длина волны, как у электрона?

Нет. Для фотона p=E/c, поэтому при 150 эВ его длина волны около 8265,61 пм. Для электрона с кинетической энергией 150 эВ получается около 100,13 пм: у него есть энергия покоя, а связь импульса с кинетической энергией другая. Равенство численных значений энергии не означает равенство импульсов.

Почему нулевая кинетическая энергия не даёт конечного ответа?

Для свободной частицы с точно нулевым импульсом соотношение h/p уходит к бесконечной длине волны. Это предельное состояние, а не число, которое можно вывести в пикометрах. Пространственно локализованная частица описывается сочетанием импульсов; её нельзя одновременно считать точкой с одним строго нулевым импульсом.

Можно ли умножить эту длину волны на частоту и получить скорость частицы?

Для массивной свободной частицы произведение λf, где f связано с полной энергией E=hf, является фазовой скоростью c²/v. Оно превышает c при v

Как разброс энергии влияет на разброс длины волны?

Для малого относительного разброса K относительный разброс λ по модулю равен примерно (K+E₀)/(K+2E₀) от него. При низкой энергии разброс K в 2% даёт около 1% разброса λ; в ультрарелятивистском пределе почти 2%. Для широкого распределения нужно пересчитывать его целиком, а не заменять этой линейной оценкой.

Можно ли принять длину волны за разрешение микроскопа?

Она задаёт важный волновой масштаб, но не полное разрешение. Например, электронная волна около 2,508 пм при 200 кэВ сама по себе не обещает видимость деталей в 2,508 пм. Результат ограничивают также углы сбора, аберрации оптики, устойчивость прибора и взаимодействие частиц с образцом.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.