Калькулятор КПД Карно

Какую долю тепла можно превратить в работу

Учебный тепловой двигатель между горячим и охлаждающим блоками

КПД Карно показывает верхнюю границу доли полученного тепла, которую тепловая машина может превратить в работу при заданных температурах горячего и холодного резервуаров. Резервуаром называют источник или приёмник тепла, температура которого в рассматриваемой модели остаётся постоянной. Для нагревателя 600 К и холодильника 300 К предел равен 50%: из каждой 1000 Дж полученного тепла обратимая машина могла бы превратить в работу 500 Дж.

Это граница идеального обратимого цикла. Обратимый процесс можно мысленно провести в противоположном направлении без остаточных изменений в машине и окружающей среде. Реальный двигатель имеет потери и необратимые процессы, поэтому два числа температуры не позволяют предсказать его фактический КПД. Калькулятор полезен, когда нужно проверить теоретический предел или сравнить температурные условия.

Формула и абсолютные температуры

Обозначим температуру нагревателя T_h, холодильника T_c. Обе величины нужны в кельвинах. Процентный КПД определяется отношением температур:

\displaystyle \eta=100\left(1-\frac{T_c}{T_h}\right)=100\frac{T_h-T_c}{T_h}

Если температуры равны, числитель второй записи равен нулю и КПД составляет 0%. Для положительного предела нагреватель должен быть горячее холодильника. Ввод холодильника горячее нагревателя не описывает выбранное направление работы машины, поэтому форма предлагает исправить данные. Ноль кельвинов тоже не подходит: температура холодного резервуара должна быть строго положительной.

Отношение градусов Цельсия использовать нельзя. Например, нагревателю 100 °C соответствует 373,15 К, холодильнику 20 °C соответствует 293,15 К. Предел равен примерно 21,4391%, а не 80%, которые получились бы от деления 20 на 100. Подготовить исходные температуры помогает перевод градусов Цельсия в кельвины. На странице обе подписи К относятся к абсолютной шкале.

Почему часть тепла уходит холодильнику

За полный цикл рабочее тело возвращается в исходное состояние. Полученное от горячего источника тепло Q_h распределяется между работой W и теплом Q_c, переданным холодному резервуару. Энергетический баланс имеет вид W = Q_h − Q_c, а КПД равен W / Q_h. Для обратимого цикла отношение Q_c / Q_h совпадает с T_c / T_h.

Холодильник здесь означает приёмник тепла. Им может быть окружающая среда или охлаждающая система; речь не обязательно о бытовом приборе. Заданная температура относится к резервуару, с которым происходит обмен теплом. Температура детали двигателя, пламени или самого рабочего тела в отдельный момент может отличаться от неё.

Название связано с французским исследователем Сади Карно и его работой 1824 года о движущей силе теплоты. Современная формула описывает предел обратимой машины между двумя температурами. Конструкция поршня, турбины или другого механизма не позволяет превысить эту границу при тех же условиях. Однако сама формула не выбирает материал, топливо, размеры и режим эксплуатации.

Как изменение условий меняет предел

Работа между двумя заданными источниками. При T_h = 600 К и T_c = 300 К получаем 50%. Если за цикл получено 1000 Дж, максимальная работа составляет 500 Дж, оставшиеся 500 Дж передаются холодильнику. Число 50% говорит о распределении энергии, а не о скорости её получения или количестве циклов за секунду.

Более горячий нагреватель. При сохранении холодильника 300 К повышение горячей температуры до 750 К даёт предел 60%. Из тех же 1000 Дж максимальная работа становится 600 Дж. Рост горячей температуры на 25% увеличил предел с 50 до 60%, то есть на 10 процентных пунктов, а не на 25 пунктов.

Более холодный приёмник тепла. При горячем резервуаре 600 К снижение холодного до 240 К тоже даёт 60%. Формально повышение нагревателя и охлаждение холодильника способны дать одинаковый КПД. Но затраты на создание и поддержание этих температур находятся за пределами расчёта, поэтому одинаковые проценты не доказывают одинаковую экономичность установок.

Небольшая температурная разница. Для 310 и 300 К предел составляет 3,22581%. Из 1000 Дж идеальная работа равна примерно 32,2581 Дж. Десять кельвинов перепада могут обеспечивать перенос тепла, но при таких температурах дают лишь небольшую долю работы. Большой тепловой поток сам по себе не делает процентный предел высоким.

Оценка полезной мощности. Для 500 и 400 К граница равна 20%. Если горячий источник передаёт машине 2 кВт тепловой мощности, предельная механическая мощность в этой модели равна 0,4 кВт. Подставляется именно получаемая тепловая мощность, а не паспортная электрическая мощность какого-либо вспомогательного устройства.

Равные температуры. При 300 и 300 К ответ равен 0%. Температурной разницы для выбранной тепловой машины нет. Если в другую машину работа поступает извне, она может переносить тепло или выполнять другие действия, но это уже иной энергетический баланс. Нулевой КПД Карно не означает отсутствие любых возможных процессов в системе.

Как читать результат без лишних обещаний

КПД является безразмерной долей, которую здесь показывают в процентах. Механическая работа измеряется в джоулях, мощность в ваттах. Для конкретного движения работу силы можно отдельно найти через калькулятор механической работы, однако её связь с полученным теплом требует полного баланса машины.

Важна именно пропорция абсолютных температур. У пар 600/300 К и 1200/600 К одинаковый предел 50%, хотя разницы температур различаются вдвое. Поэтому нельзя оценивать КПД только по перепаду. При неизменном холодильнике дальнейшее повышение нагревателя увеличивает предел всё медленнее: он приближается к 100%, сохраняя положительную долю отводимого тепла.

Ответ округляется до шести значащих цифр. Очень маленький ненулевой КПД выводится научной записью. Если округление почти единичной доли даёт 100%, появляется знак «≈». Он означает округление числа, а не возможность полного превращения тепла в работу при положительной холодной температуре. Полезную точность исходных температур определяют измерения и условия задачи.

Передача тепла и получение работы отвечают на разные вопросы. Время нагрева, количество отведённого тепла или мощность теплообмена требуют дополнительных исходных данных. В таких задачах расчёт теплопередачи дополняет температурный предел, а не заменяется процентом КПД. В форме намеренно остаются две температуры, достаточные именно для предела Карно.

Вопросы о тепловом балансе и сравнении машин

Процентный предел можно применять к энергии за цикл или к устойчивому потоку энергии. Но вспомогательные затраты и обратное направление работы требуют собственного баланса.

Как найти количество тепла, которое принимает холодильник?

Для обратимой машины Qc=QhTc/Th. При 600 и 300 К и полученных 2000 Дж холодильник принимает 1000 Дж. Для реальной машины с меньшим КПД при том же полученном тепле полезная работа меньше, а отводимого тепла больше. Число Qh нужно задать отдельно: температуры сами не определяют его величину.

Можно ли сравнивать КПД по одинаковой разнице температур?

Одного перепада недостаточно. Для 400/300 К разница 100 К даёт 25%, а для 800/700 К те же 100 К дают 12,5%. В формуле перепад делится на горячую абсолютную температуру. При сравнении нужно учитывать обе температуры, а не только их разность.

Почему электрический нагреватель может иметь КПД почти 100%?

Нагреватель превращает поступившую электрическую энергию в тепло. Формула Карно относится к циклическому превращению тепла в работу между двумя резервуарами. Это разные направления преобразования. Почти полное превращение электрической энергии в тепло не доказывает возможность обратного процесса с таким же КПД.

Как связан предел Карно с тепловым насосом?

Для обратимого насоса коэффициент отопительной эффективности равен Th/(Th−Tc), при Th>Tc. Он показывает полученное горячим резервуаром тепло на единицу затраченной работы. При 300 и 250 К получается 6. Это не 600% КПД тепловой машины: насос переносит тепло с дополнительным расходом работы и имеет другое назначение показателя.

Две последовательные машины складывают свои проценты?

Нет. Если первая использует пару Th/Tm, а вторая Tm/Tc и получает всё отводимое первой тепло, общий обратимый предел остаётся 1−Tc/Th. Для 600/400 и 400/300 К отдельные пределы 33,3333% и 25%, а общий 50%. Складывать 33,3333 и 25 напрямую нельзя: вторая машина получает другую исходную порцию тепла.

Можно ли ввести холодильник с отрицательной температурой Цельсия?

Да, если перевести её в положительные кельвины. Например, −20 °C соответствуют 253,15 К. При нагревателе 373,15 К предел будет примерно 32,1586%. Отрицательное число в поле К сюда не подходит: калькулятор рассматривает обычные положительные абсолютные температуры резервуаров.

Что означает разница между процентами и процентными пунктами?

Рост КПД с 20% до 25% составляет 5 процентных пунктов. Относительно прежнего значения это увеличение на 25%, потому что 5/20=0,25. При сравнении температурных режимов указывайте, какую из двух величин имеете в виду. Сам калькулятор показывает конечный КПД, а не его относительное изменение.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.