Калькулятор прогиба балки

Место максимума	Середина пролёта
Макс. изгибающий момент	0,5 кН·м
Реакции A / B	0,5 / 0,5 кН

Какой прогиб показывает калькулятор

Балка на двух опорах с грузом посередине и индикатором для измерения прогиба

Прогиб балки показывает, насколько её ось смещается под поперечной нагрузкой. Калькулятор находит максимальное перемещение в миллиметрах для балки на двух опорах или консоли с закреплённым концом. Например, при пролёте 2 м, силе 1 кН в центре, модуле упругости 200 ГПа и моменте инерции 100 см⁴ расчётный прогиб равен примерно 0,833 мм.

Расчёт относится к линейной модели Эйлера–Бернулли: прямой тонкой балке постоянного сечения, упругому материалу и малым деформациям. Эта модель связывает нагрузку с перемещением, но не определяет, выдержит ли конструкция нагрузку без разрушения. Для прочности, устойчивости и допустимого прогиба нужны отдельные проверки.

Сначала выберите опоры и место нагрузки

Балка на двух опорах лежит на шарнире и подвижной опоре. В принятой схеме концы не смещаются вертикально, но могут поворачиваться. Пролёт L измеряют между опорами. Для сосредоточенной силы P калькулятор ставит её точно посередине; для равномерной нагрузки q нагружает весь пролёт. В обоих случаях максимальный прогиб находится в середине.

Консоль жёстко закреплена с одной стороны, а её второй конец свободен. В заделке запрещены и вертикальное перемещение, и поворот. Длина L отсчитывается от заделки до свободного конца. Сила P действует на свободном конце, равномерная q распределяется по всей длине. Максимальное перемещение для этих схем получается на свободном конце.

Заделка и опора отличаются способом удержания балки, поэтому их нельзя выбирать по похожему внешнему виду. Балка, просто лежащая на двух стенах, не становится защемлённой только из-за плотного контакта. И наоборот, податливый кронштейн может поворачиваться вместе с балкой, хотя на эскизе его нарисовали неподвижным. Калькулятор предполагает идеальные закрепления; их соответствие реальной конструкции проверяют отдельно.

Сила P вводится в килоньютонах, нагрузка q в килоньютонах на метр. Значение q = 1 кН/м на длине 2 м означает суммарно 2 кН. При увеличении длины до 3 м та же интенсивность даст уже 3 кН. Если общий вес остаётся прежним, а меняется только длина участка, нужно изменить и q.

От чего зависит жёсткость

В изгибе совместно работают модуль упругости E и геометрический момент инерции I. Модуль описывает, насколько материал деформируется при напряжении в упругой области. Он не равен пределу прочности: два материала могут выдерживать разные напряжения, но иметь близкую упругую жёсткость. Значение E берут из условия задачи или данных для конкретного материала и направления его работы.

Момент инерции I относится к площади поперечного сечения и показывает, как эта площадь распределена относительно оси изгиба. Поэтому тяжёлая балка не обязательно жёстче лёгкой: материал, удалённый от нужной оси, сильнее влияет на I. Для профиля с разными главными осями в таблице обычно приведено несколько значений. Подставлять нужно то, которое соответствует выбранной плоскости изгиба.

Для прямоугольника шириной b и высотой h относительно центральной оси, параллельной ширине, действует формула:

\displaystyle I=\frac{bh^3}{12}

Если b и h заданы в сантиметрах, ответ получается в см⁴. Высота стоит в кубе. Это объясняет знакомое поведение линейки: плашмя она легко прогибается, а на ребре сопротивляется изгибу гораздо сильнее. При повороте прямоугольного сечения высота и ширина меняются местами; значение I нужно пересчитать.

В форме используются ГПа и см⁴. Один ГПа равен 10⁹ Па, или 1000 Н/мм². Один см⁴ равен 10 000 мм⁴, или 10⁻⁸ м⁴. Четвёртая степень относится ко всей единице длины, поэтому заменить см⁴ на мм⁴ простым умножением на десять нельзя. Такая ошибка меняет рассчитанную жёсткость в тысячу раз относительно правильного перевода.

Формулы для четырёх схем

Для силы P прогиб пропорционален кубу длины, а для постоянной интенсивности q четвёртой степени длины. Формулы отличаются числовым коэффициентом, который учитывает опоры и распределение нагрузки:

\displaystyle \delta_P=c_P\frac{PL^3}{EI},\qquad \delta_q=c_q\frac{qL^4}{EI}

Коэффициенты ниже относятся только к указанным четырём схемам. Во всех формулах единицы должны быть согласованы: например, ньютоны, метры, паскали и м⁴ дают прогиб в метрах. Калькулятор переводит введённые единицы и показывает миллиметры.

Опоры и нагрузка	Коэффициент	Где наибольший прогиб
Две опоры, сила в центре	c_P = 1/48	В середине пролёта
Две опоры, равномерная нагрузка	c_q = 5/384	В середине пролёта
Консоль, сила на конце	c_P = 1/3	На свободном конце
Консоль, равномерная нагрузка	c_q = 1/8	На свободном конце

Удвоение E или I уменьшает прогиб вдвое. Удвоение силы P увеличивает его вдвое. С длиной зависимость заметно резче: удвоение пролёта даёт рост в восемь раз при неизменной P и в шестнадцать раз при неизменной q. Во втором случае одновременно увеличивается суммарная нагрузка, потому что нагруженный участок становится длиннее.

Примеры расчёта и сравнения

Все примеры ниже иллюстрируют упругую модель. Они помогают проверить единицы, влияние опор и геометрии, но не назначают размеры несущей конструкции. Модуль E = 200 ГПа используется как заданное учебное значение.

Нагрузка посередине пролёта. Пусть L = 2 м, E = 200 ГПа, I = 100 см⁴, P = 1 кН. Для двух опор получаем прогиб 0,83333 мм. Каждая опора воспринимает 0,5 кН, максимальный изгибающий момент равен 0,5 кН·м. Сумма реакций равна приложенной силе. Такая проверка помогает обнаружить, например, ошибочное принятие нагрузки на одну опору за полную нагрузку балки.

Тот же элемент работает как консоль. Сохраним длину, E, I и силу, но закрепим один конец и перенесём P на свободный. Прогиб вырастет до 13,333 мм, то есть в 16 раз. Реакция заделки равна 1 кН, модуль момента у заделки составляет 2 кН·м. Изменилось закрепление и положение силы, а не материал. Поэтому перенос результата от балки на двух опорах к выносному кронштейну даст неверную оценку.

Одинаковая суммарная нагрузка распределена по-разному. На двух опорах при L = 2 м, E = 200 ГПа и I = 100 см⁴ сила P = 2 кН в центре даёт 1,66667 мм. Если те же 2 кН распределить по всей длине, нужно ввести q = 1 кН/м. Получится 1,04167 мм, или 5/8 прежнего прогиба. Общая сила и реакции одинаковы, но распределённая нагрузка создаёт другой изгибающий момент вдоль балки.

Пролёт вырос всего на метр. Для двух опор, q = 1 кН/м, E = 200 ГПа и I = 100 см⁴ увеличение L с 2 до 3 м меняет прогиб с 1,04167 до 5,27344 мм. Рост составляет примерно 5,06 раза: (3/2)⁴. При этом полная нагрузка увеличилась с 2 до 3 кН. Оставить прежнюю оценку после переноса опоры нельзя, даже если сама балка осталась той же.

Прямоугольное сечение повернули плашмя. Для ширины 5 см и высоты 10 см момент инерции равен 416,6667 см⁴. После поворота ширина становится 10 см, высота 5 см, а I уменьшается до 104,1667 см⁴. При двух опорах, L = 2 м, P = 1 кН и E = 200 ГПа прогибы составляют соответственно 0,2 и 0,8 мм. Площадь и масса сечения одинаковы, а жёсткость отличается в четыре раза.

Собственный вес тоже нагружает балку. Если погонная масса равна 20 кг/м, при принятом g = 9,80665 м/с² она создаёт q = 0,196133 кН/м. На двух опорах с L = 2 м, E = 200 ГПа и I = 100 см⁴ это даёт около 0,20431 мм. В режиме q эту нагрузку прибавляют к другим равномерным нагрузкам. Массу профиля можно отдельно оценить через калькулятор веса двутавра или профильной трубы; момент инерции берут из данных сечения, а не из его массы.

Как читать момент и реакции

Главное число в ответе относится к наибольшему прогибу, а не к перемещению любой точки. У двух опор концы остаются на исходном уровне, хотя середина опускается. У консоли закреплённый конец не перемещается, а свободный опускается сильнее остальных точек. При нулевой нагрузке прогиб и реакции равны нулю.

Максимальный изгибающий момент в ответе указан по модулю, без знака. У двух рассмотренных схем на опорах он достигается в середине, у консоли в заделке. Вертикальные реакции направлены вверх и уравновешивают нагрузку. Для консоли заделка дополнительно передаёт момент; его модуль совпадает с показанным максимальным моментом.

Момент сам по себе не является напряжением. Для проверки напряжений нужны характеристики сечения и положение рассматриваемой точки, затем сравнение с условиями работы материала. Малый прогиб не исключает местного повреждения у нагрузки или соединения. Число в миллиметрах также не отвечает на вопрос о колебаниях, потере устойчивости и долговечности.

Где заканчивается простая модель

Теория предполагает, что сечения остаются плоскими и перпендикулярными изогнутой оси. Деформация сдвига не учитывается. Для коротких высоких балок, мягкого заполнителя многослойного элемента или податливого соединения этот вклад может оказаться существенным. Один универсальный предел длины, который гарантирует пригодность модели для всех сечений и материалов, здесь не задаётся.

Большие прогибы и повороты меняют геометрию задачи. Если полученное перемещение выглядит соизмеримым с длиной элемента, обычную линейную формулу нельзя читать как достоверный прогноз положения балки. Трещины, пластическое течение, ползучесть, удар и кручение также требуют другой расчётной модели. Подстановка более точного числа E эти эффекты не добавляет.

Вопросы о прогибе балки

Наиболее частые расхождения возникают из-за оси сечения, единиц нагрузки и идеализации опор. Перед переносом результата на реальный элемент проверьте, совпадают ли эти условия с вашей задачей.

Где взять момент инерции I и какую ось выбрать?

Для готового профиля используйте геометрические характеристики его сечения, а для простой фигуры рассчитайте I относительно нужной центральной оси. При вертикальном изгибе обычно нужна горизонтальная ось сечения. Обозначения осей у разных источников могут отличаться, поэтому сверяйте рисунок, а не только букву x или y. Полярный момент и момент инерции массы имеют другой смысл и сюда не подходят.

Можно ли ввести килограммы вместо килоньютонов?

Нет: килограмм измеряет массу, а килоньютон силу. Для веса используйте P = mg. Например, при g = 9,80665 м/с² масса 100 кг создаёт силу 0,980665 кН. Если масса задана на погонный метр, аналогичное умножение даёт распределённую нагрузку в Н/м; для кН/м разделите результат на 1000.

Учитывается ли собственный вес автоматически?

Нет. Модуль упругости и момент инерции не определяют массу, поэтому собственного веса среди исходных данных нет. В режиме равномерной нагрузки добавьте его к q самостоятельно. Если одновременно действуют собственный вес и сосредоточенная сила, для линейной модели эти два случая можно рассчитать отдельно и сложить прогибы в одной и той же точке. Для выбранных симметричных схем максимумы совпадают, но это не универсальное свойство произвольных нагрузок.

Что делать, если сила расположена не в центре или нагрузка занимает часть длины?

Эти случаи требуют других формул. Замена нагрузки её суммарной силой может сохранить равновесие, но не сохранит прогиб: распределение изгибающего момента вдоль балки изменится. Здесь сила располагается только в центре пролёта или на конце консоли, а q действует по всей длине. Для произвольного положения нужен решатель с координатами сил и участков нагрузки.

Почему нельзя выбрать консоль вместо балки с одним жёстким и одним свободно опёртым концом?

У консоли второй конец полностью свободен. Дополнительная опора ограничивает его перемещение и создаёт новую реакцию, поэтому это уже другая схема. Такую балку называют балкой с заделкой и дополнительной опорой; ни один из четырёх вариантов этой формы её не описывает. То же относится к балке, защемлённой с обоих концов.

Подходит ли расчёт для деревянной или железобетонной балки?

Формулы описывают идеализированную упругую балку с заданным EI, а не конкретный материал целиком. Для дерева важны направление волокон, длительность действия нагрузки и ползучесть. Для железобетона трещины, армирование и длительные процессы меняют эффективную жёсткость. Подставить произвольное табличное E и геометрическое I неповреждённого сечения недостаточно для полноценной проверки таких конструкций.

Как определить допустимый прогиб и проверить прочность?

Допустимое перемещение назначают по требованиям к конкретной конструкции, её назначению, отделке, оборудованию и принятой системе норм. Единого отношения пролёта к прогибу для всех балок нет. Даже выполнение ограничения по перемещению не заменяет проверок прочности, устойчивости, соединений и опор. Этот калькулятор выдаёт упругий прогиб выбранной модели и не присваивает конструкции статус пригодности.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.