Калькулятор закона Вина

Как температура сдвигает максимум излучения

Учебная лампа с нагретой нитью рядом со спектрометром

У идеального теплового источника с температурой 5800 К максимум спектра приходится примерно на 499,6 нм. Закон Вина связывает температуру тела с длиной волны, возле которой оно излучает сильнее всего на одинаковый узкий интервал длин волн. При нагревании этот максимум сдвигается к более коротким волнам, при охлаждении к более длинным.

Нагретое тело излучает сразу множество длин волн. Спектр показывает, как между ними распределена мощность. Представьте ряд одинаковых по ширине спектральных «полосок»: максимум соответствует самой высокой части плавной кривой, а не единственной полоске, оставшейся после удаления остальных. Именно поэтому пик спектра и видимый цвет предмета описывают разные вещи.

Закон назван по имени физика Вильгельма Вина, исследовавшего тепловое излучение. Он позволил связывать изменение температуры со смещением спектра и оценивать температуру по излучению удалённого источника. Для этого нужна модель чёрного тела: идеального объекта, полностью поглощающего падающее излучение и имеющего определённый тепловой спектр при данной температуре.

Формула и единицы

Для спектра, записанного на единицу длины волны, произведение положения максимума и абсолютной температуры постоянно:

\displaystyle \lambda_{\max}T=b

Здесь T выражена в кельвинах, λmax в метрах, а b = 0,002897771955 м·К. Калькулятор показывает длину волны в нанометрах, поэтому при делении использует b = 2897771,955 нм·К. Один нанометр равен одной миллиардной метра, а 1000 нм составляют один микрометр.

В прямой задаче λmax = b/T, в обратной T = b/λmax. Температура и длина волны должны быть строго положительными. Ноль кельвинов является предельным состоянием: конечного спектрального пика b/0 эта формула не даёт. Отрицательная длина волны также не имеет смысла в выбранной модели.

Если температура известна в градусах Цельсия, сначала прибавьте 273,15 или используйте перевод градусов Цельсия в кельвины. Подставить 20 вместо 293,15 К означает считать другой физический объект. Удвоение абсолютной температуры сдвигает максимум вдвое, а удвоение числа градусов Цельсия такой пропорции не создаёт.

Что можно понять по положению пика

Пример 1. Горячая звёздная модель. Для условной поверхности с T = 5800 К выбираем расчёт длины волны и получаем 499,616 нм. Это положение пика плавного теплового спектра. Такую оценку можно сопоставить с измеренным спектром звезды, но она ещё не учитывает линии поглощения, атмосферу наблюдателя и поглощение света на пути к нему.

Пример 2. Обратный спектральный замер. Пусть максимум измеренного теплового спектра находится на 500 нм. Обратный расчёт даёт 5795,54 К. Существенны слова «максимум спектра»: одна яркая линия на 500 нм не превращается автоматически в термометр. Сначала надо убедиться, что измерена широкая тепловая кривая, а не отдельное излучение атомов или лампы другого типа.

Пример 3. Предмет при комнатной температуре. Идеальный источник при 300 К имеет пик 9659,24 нм, то есть около 9,66 мкм, в инфракрасной области. Поэтому отсутствие видимого свечения не означает отсутствие излучения. Книга, стол и стены тоже участвуют в тепловом обмене; глаз просто работает с другим участком спектра.

Пример 4. Нить лампы. Для учебной модели нагретой нити при 2800 К ответ равен 1034,92 нм, или 1,035 мкм. Максимум расположен за видимой областью, хотя горячая нить даёт видимый свет. Он приходит из более коротковолновой части широкого спектра. По одному положению пика нельзя вычислить долю электрической мощности, превратившуюся в полезное освещение.

Пример 5. Изменение режима нагрева. У идеального образца при 1200 К пик лежит на 2414,81 нм. При 2400 К он переместится на 1207,40 нм. Длина волны сократилась вдвое, но собственная излучаемая мощность при прежних площади и степени черноты выросла в 16 раз. Положение пика и количество отдаваемой энергии требуют разных законов; второй вопрос решает расчёт теплового излучения.

Пример 6. Холодный идеальный источник. Для T = 10 К получаем 289777 нм. Удобнее прочитать это как 289,777 мкм или 0,289777 мм. Здесь перевод единиц меняет представление числа, но сохраняет саму волну. При сравнении с прибором важно проверить его рабочий диапазон: результат в сотнях тысяч нанометров не относится к обычной камере видимого света.

Пик, цвет и полная мощность

Пик показывает положение максимума, но не ширину кривой, площадь под ней или яркость в выбранном направлении. Два одинаково горячих источника разной площади имеют один и тот же максимум в идеальной модели и разную полную мощность. Расстояние до наблюдателя тоже меняет получаемый сигнал, сохраняя положение пика при отсутствии дополнительного поглощения и сдвига спектра.

Энергию фотона с найденной длиной волны можно получить через калькулятор энергии фотона. Это будет энергия отдельного фотона данной волны, а не средняя энергия всех фотонов источника и не мощность тела. Для последней нужны площадь, температура и свойства поверхности.

Наблюдаемый цвет складывается из широкого спектра, чувствительности глаза и условий наблюдения. Тепловой источник с пиком около зелёной области одновременно излучает соседние видимые длины волн. Подпись «зелёное тело» по ответу 500 нм поэтому была бы неверной. Калькулятор намеренно выдаёт физическую длину волны без подобного цветового ярлыка.

Когда обратная температура остаётся оценкой

Чёрное тело задаёт идеальный спектр. Серое тело имеет меньшую излучательную способность, одинаковую для всех рассматриваемых длин волн: постоянный множитель уменьшает кривую, сохраняя её максимум. У реального покрытия степень черноты может зависеть от длины волны. Тогда спектр меняет форму, и b/λmax не обязательно совпадает с фактической температурой поверхности.

Шесть значащих цифр в результате удобны для сверки формулы, но не гарантируют такую точность измерения. Ошибка прибора, отражённое излучение и неопределённость модели остаются в исходных данных. Малые положительные ответы отображаются научной записью; непредставимый числовой масштаб вызывает явную ошибку вместо ложного нуля.

Вопросы о спектральном максимуме

Обратный расчёт особенно чувствителен к тому, какой спектр измерен. Фильтр, отдельная линия или смешение источников могут дать максимум, который уже не описывается одной температурой.

Почему c/λmax не даёт максимум по частоте?

Спектр на единицу длины волны и спектр на единицу частоты используют разные интервалы. Одинаковые полосы по λ превращаются в неодинаковые полосы по ν, поэтому при смене координаты меняется высота спектральной плотности. Частота c/λmax соответствует найденной волне, но обычно не является максимумом спектра, записанного по частоте.

Можно ли вычислить температуру лазера по его длине волны?

Для монохроматического лазерного света закон Вина не даёт температуру источника. Узкая рабочая линия возникает благодаря механизму генерации и выбранным переходам, а не как максимум равновесного теплового спектра. Значение b/λ можно формально посчитать, но оно не является показанием термометра для лазера.

Почему звезда с пиком около 500 нм не зелёная?

Глаз воспринимает весь доступный видимый спектр, а тепловая кривая широка. Вместе с зелёными волнами приходят красные и синие. Результат зависит от их сочетания, зрения и условий наблюдения. Максимум одного участка кривой не определяет цвет так, как это сделала бы одна узкая спектральная линия.

Изменится ли результат, если смотреть через фильтр?

Температура тела от одного наблюдения не меняется, но зарегистрированная кривая умножается на пропускание фильтра и чувствительность приёмника. Если они неодинаковы на разных волнах, её наблюдаемый максимум может сдвинуться. Для обратного расчёта нужен восстановленный спектр источника, а не максимум сигнала после неизвестного фильтра.

Какой пик получится у смеси горячего и холодного источников?

Приёмник регистрирует сумму их вкладов. Положение общего максимума зависит от температур, площадей, геометрии и спектрального диапазона; возможна сложная форма с несколькими заметными областями. Полученная через b/λ температура такой смеси обычно не равна температуре каждого тела или их простому среднему.

Как ошибка длины волны влияет на найденную температуру?

При небольшой ошибке относительная погрешность температуры примерно равна относительной погрешности положения пика, а знак изменения противоположен. Например, отклонение около 5 нм при пике 500 нм составляет примерно 1%, поэтому температура около 5796 К изменится примерно на 58 К. Это оценка чувствительности формулы без дополнительных ошибок модели.

Малая степень черноты обязательно сдвигает пик?

Если она постоянна по длине волны, нет: множитель, например 0,2, уменьшает весь спектр в пять раз, сохраняя максимум. Если степень черноты заметно меняется по спектру, положение максимума может измениться. Поэтому низкая общая мощность сама по себе не доказывает низкую температуру.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.