Почему объём шара равен 4/3 πr³

Две трети цилиндра радиуса r и высоты 2r дают шару объём 4/3 πr³.

Дальше вы сможете проверить это водой, увидеть совпадающие сечения двух разных тел и понять, когда реальный мяч нельзя считать идеальным шаром.

В статье вы узнаете:

• Как увидеть две трети на опыте
• Почему из двух третей получается 4/3
• Как сечения превращают наблюдение в доказательство
• Что означают π, r³ и 4/3
• Как проверить формулу на радиусе 3 см
• Какой радиус брать у настоящего предмета

Две полусферы поднимают воду до отметки 4 из 6

У Лены есть школьный набор объёмных тел: две одинаковые полусферические чаши внутреннего радиуса 3 см и прямой цилиндр с таким же внутренним радиусом. Высота цилиндра равна 6 см, то есть диаметру собранного шара.

Лена ставит цилиндр вертикально, заполняет водой первую полусферу ровно до плоского края и переливает воду в цилиндр. Затем повторяет действие со второй половиной. Вода поднимается примерно до отметки 4 см.

У цилиндра одинаковое сечение по всей высоте. Четыре сантиметра из шести составляют две трети высоты, поэтому вода занимает и две трети полного объёма. Две полусферы вместе образуют шар, значит, опыт показывает нужное отношение: шар занимает около двух третей цилиндра, в который он точно вписывается.

Для опыта важны внутренние размеры. Толщина стенок, зазор между моделями, капли на краях и неточная отметка уровня сдвинут результат. Переливание хорошо показывает отношение на одном наборе, но само по себе не доказывает формулу для любого шара. Для доказательства придётся сравнить фигуры изнутри.

Из двух третей цилиндра получается 4/3

Цилиндр вокруг шара имеет радиус r и высоту 2r. Его основание занимает площадь πr². Если протянуть это основание на высоту 2r, получится объём цилиндра:

Опыт подсказал, что шар занимает две трети этого объёма. Берём две трети от 2πr³:

Вот и весь путь числа 4/3. Двойка появляется из высоты цилиндра 2r, а множитель 2/3 показывает, какую долю цилиндра занимает шар. Осталось обосновать самую важную часть: почему доля всегда равна ровно двум третям.

Равные сечения превращают наблюдение в доказательство

Представьте объёмное тело как стопку тонких горизонтальных пластинок. У цилиндра все пластинки одинаковые. У шара самая большая находится посередине, а ближе к верхней и нижней точкам круги уменьшаются. По одному основанию или силуэту сложить такую стопку точно не получится.

Здесь помогает принцип Кавальери. Если два тела имеют одинаковую высоту и на каждой высоте площади их сечений равны, то равны и объёмы. Форма отдельных сечений может различаться, важна их площадь.

Возьмём верхнюю половину шара радиуса r. Рядом поставим цилиндр радиуса r и высоты r, а из цилиндра мысленно удалим конус. Вершина конуса находится в центре нижнего основания, его круглая основа совпадает с верхом цилиндра. Получается цилиндр с расширяющейся кверху конической полостью.

Проведём сечение на высоте y от нижней плоскости, которая проходит через центр шара. В полусфере получится круг. Если посмотреть на фигуру в вертикальном разрезе, радиус этого круга, отрезок y и радиус шара r образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора квадрат радиуса круга равен r² - y², а его площадь равна π(r² - y²).

Второе тело на той же высоте даёт кольцо. Внешний радиус кольца равен r, внутренний радиус конической полости равен y: конус имеет одинаковые радиус и высоту, поэтому его радиус растёт вместе с высотой. Площадь кольца равна πr² - πy², то есть тем же π(r² - y²).

Сечения совпали по площади на любой высоте от 0 до r. По принципу Кавальери совпадают и объёмы. Полусфера равна цилиндру высотой r без конуса:

У шара две полусферы, поэтому его объём равен 4/3 πr³. Коэффициент 1/3 для конуса здесь уже считается известным; отдельная статья объясняет, откуда он берётся у конуса и пирамиды. Такое же сравнение сечений приводит открытый учебный модуль AMSI для 9-10 классов.

Математическое доказательство начинается именно с равенства всех сечений. Принцип Кавальери здесь принят как теорема. Его строгое обоснование через пределы или интегралы выходит за рамки этого разбора. Опыт с водой остаётся проверкой модели, а не заменой теоремы.

Каждая часть формулы отвечает за свою работу

r³ отвечает за масштаб. Если увеличить радиус вдвое, все три направления шара вырастут вдвое, а объём увеличится в 2 × 2 × 2 = 8 раз. Поэтому радиус стоит в кубе. Отдельный разбор объясняет, почему объём измеряют кубическими единицами.

π приходит из круглых сечений. Каждый горизонтальный слой шара является кругом, а площадь круга содержит π. При сложении слоёв этот множитель сохраняется.

4/3 описывает форму. Выражение πr³ само по себе можно представить как объём цилиндра радиуса r и высоты r. Шар больше такого короткого цилиндра в 4/3 раза, но меньше цилиндра высотой 2r и занимает в нём две трети.

Строго говоря, сфера является поверхностью, а шар включает всё пространство внутри неё. Формула 4/3 πr³ считает объём шара. Формула 4πr² отвечает на другой вопрос: сколько площади занимает его поверхность. Для неё на eCalc есть калькулятор площади сферы.

Радиус 3 см даёт 36π см³

Вернёмся к моделям Лены. При r = 3 см высота описанного цилиндра равна 6 см. Его объём составляет:

Две трети от 54π равны 36π. Формула шара приводит к тому же числу:

Есть и третья проверка. Вода остановилась на высоте 4 см, поэтому заняла в цилиндре π × 3² × 4 = 36π см³. Геометрическое сравнение, формула шара и измеренный уровень говорят об одном объёме.

Для другого размера можно ввести радиус или диаметр в калькулятор объёма шара, а затем сравнить результат с объёмом цилиндра того же радиуса и высоты 2r. Значение шара должно составлять две трети значения цилиндра.

Внешний и внутренний радиусы дают разные ответы

Формула описывает идеальный шар. Мяч может немного сплющиться, апельсин имеет неровную кожуру, а декоративная ёлочная игрушка бывает вытянутой. Для таких предметов расчёт по одному диаметру даёт модель, а не точное измерение. Объём неправильного твёрдого предмета надёжнее проверить по вытесненной воде, полностью погрузив его, если материал это допускает.

У полого сферического предмета сначала решите, какой объём нужен. Внешний радиус показывает пространство, которое предмет занимает снаружи. Внутренний радиус показывает вместимость. Если внутренняя и внешняя поверхности являются концентрическими сферами, объём материала оболочки равен разнице объёмов по двум радиусам. Подставлять средний радиус просто для удобства нельзя: радиус стоит в кубе, поэтому такая замена заметно меняет результат.

Самая короткая проверка формулы остаётся прежней. Постройте вокруг шара цилиндр того же радиуса и высоты 2r. Если размеры относятся к одной и той же границе, объём шара должен составить две трети объёма цилиндра. Коэффициент 4/3 после этого уже не приходится вспоминать отдельно.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.