Почему объём конуса и пирамиды делят на три

Площадь основания умножают на высоту, а результат делят на три.

Дальше вы проверите эту долю переливанием, выведете её из обычного куба и увидите, почему круглое и квадратное основания приводят к одному коэффициенту.

В статье вы узнаете:

• Как проверить одну треть на двух наборах фигур
• Почему по боковому виду хочется выбрать 1/2
• Откуда треть берётся у пирамиды
• Как принцип Кавальери переносит результат
• Почему конус получает тот же коэффициент
• Какие размеры подставлять в формулу

Три порции заполняют призму или цилиндр

У Кати есть два набора прозрачных геометрических тел. В первом квадратная пирамида и прямая призма имеют одинаковое внутреннее основание 6 × 6 см и высоту 9 см. Во втором конус и цилиндр имеют внутренний радиус 3 см и ту же высоту 9 см.

Катя наполняет пирамиду водой до края и переливает её в призму. После первой порции заполнена примерно треть призмы, после второй две трети, после третьей вода доходит до края. Конус так же заполняет соответствующий цилиндр за три переливания.

Числа согласуются с наблюдением. Объём квадратной призмы равен 6 × 6 × 9 = 324 см³, поэтому одна порция из пирамиды должна составлять 108 см³. Объём цилиндра равен π × 3² × 9 = 81π, или примерно 254,47 см³. Одна порция из конуса составляет 27π, или примерно 84,82 см³.

В настоящем наборе три порции совпадут с краем только приблизительно. Влияют толщина стенок, несовпадение внутренних размеров, капли и линия мениска у поверхности воды. Опыт проверяет две конкретные пары моделей. Он ещё не объясняет, почему треть работает для высокой узкой пирамиды, наклонного конуса и основания другой формы.

Боковой треугольник ошибочно подсказывает половину

Сбоку конус похож на треугольник внутри прямоугольника. Площадь такого треугольника равна половине площади прямоугольника, поэтому рука сама тянется поставить в объём 1/2. Но боковой рисунок показывает только силуэт, а объём складывается из площадей сечений.

Посмотрим на сечение, параллельное основанию, посередине между вершиной и основанием. Радиус конуса там вдвое меньше радиуса основания. Площадь круга зависит от квадрата радиуса, поэтому она уменьшается не в два, а в четыре раза.

С пирамидой происходит то же самое. Если сторона квадратного сечения уменьшилась вдвое, его площадь стала четвертью основания. Ближе к вершине сечения сжимаются ещё сильнее. Поэтому тело в среднем занимает меньше половины соответствующего столба. Точное значение одной трети требует следующего шага.

Куб делится на шесть равных пирамид

Возьмите куб со стороной 6 см и отметьте его центр. Соедините центр со всеми вершинами куба. Пространство разделится на шесть одинаковых квадратных пирамид: основанием каждой служит одна грань, а общей вершиной является центр куба.

Объём куба равен 6³ = 216 см³. Все шесть пирамид равны по форме и размеру, поэтому каждая занимает 216 / 6 = 36 см³.

У одной такой пирамиды площадь основания равна 6 × 6 = 36 см². Перпендикулярная высота идёт от центра куба до грани и равна 3 см. Призма с таким же основанием и высотой занимает 36 × 3 = 108 см³. Объём пирамиды 36 см³ составляет ровно треть объёма этой призмы.

Это пока доказательство для одной удобной квадратной пирамиды. Но всю конструкцию можно растянуть по ширине, длине или высоте. Объёмы выбранной пирамиды и соответствующей призмы умножатся на одно и то же число, поэтому отношение 1/3 сохранится. Так получаем квадратную или прямоугольную пирамиду с нужными основанием и высотой.

Форма основания всё ещё может быть другой. Здесь и понадобится сравнение сечений.

Равные сечения дают равные объёмы

Принцип Кавальери говорит: если два тела имеют одинаковую высоту и площади их сечений совпадают на каждом уровне, объёмы тел равны. Совпадения только основания и высоты недостаточно. Нужно проверить весь путь от основания до вершины.

У любой пирамиды сечение, параллельное основанию, является уменьшенной копией основания. Обозначим через t долю пути от вершины к основанию. В самой вершине t = 0, у основания t = 1. На уровне t каждая длина в сечении составляет долю t соответствующей длины основания, а площадь составляет долю t² площади основания.

Теперь возьмём произвольную пирамиду и квадратную пирамиду с такой же площадью основания B и той же перпендикулярной высотой h. На каждом уровне t обе площади равны t²B. Контуры могут быть треугольными, квадратными или пятиугольными, но площади слоёв совпадают. По принципу Кавальери совпадают и объёмы. Значит, найденная на кубе одна треть работает для любой пирамиды:

Здесь B обозначает площадь основания, а h перпендикулярную высоту. Современный школьный вывод через сечения и границы принципа собраны в открытом учебном модуле AMSI. В этой статье принцип Кавальери принят как теорема. Его строгое доказательство через пределы или интегрирование мы не воспроизводим.

Круглое основание не меняет закон сужения

Конус отличается от пирамиды формой основания, но сечения уменьшаются по тому же правилу. На доле t пути от вершины радиус круглого сечения равен tr. Его площадь равна π(tr)², то есть t²πr². Здесь πr² является площадью основания конуса.

Подберём пирамиду с той же высотой и площадью основания B = πr². На каждом уровне её сечение тоже имеет площадь t²B. Принцип Кавальери даёт конусу и этой пирамиде одинаковый объём. Поэтому коэффициент сохраняется:

Круг, квадрат или другой многоугольник определяют площадь основания. Одна и та же треть появляется из другого свойства: все линейные размеры сечения сходятся к одной вершине пропорционально высоте, а площадь меняется как квадрат этой доли.

Эта логика объясняет и наклонную вершину. Если сдвинуть вершину параллельно основанию, сохранив перпендикулярную высоту, площади параллельных сечений на каждом уровне не изменятся. Поэтому прямой и наклонный конусы с равными основаниями и высотой имеют одинаковые объёмы. То же верно для пирамид.

Правило нельзя переносить на любой сосуд, который сужается кверху. У бутылки или вазы площадь сечения может меняться по другому закону. Одинаковые основание и высота сами по себе не создают коэффициент 1/3.

В формулу входит перпендикулярная высота

Для пирамиды с основанием 6 × 6 см и высотой 9 см площадь основания равна 36 см². Объём составляет 36 × 9 / 3 = 108 см³. Этот результат можно проверить в калькуляторе объёма пирамиды, который принимает площадь основания и высоту.

Для конуса радиуса 3 см и высотой 9 см расчёт даёт π × 3² × 9 / 3 = 27π ≈ 84,82 см³. Калькулятор объёма конуса принимает радиус, диаметр или готовую площадь основания. Калькулятор цилиндра поможет проверить контроль: цилиндр с теми же основанием и высотой должен иметь втрое больший объём.

Высоту измеряют по перпендикуляру от вершины к плоскости основания. Наклонная образующая конуса и боковое ребро пирамиды длиннее и в эту формулу не входят. Все линейные размеры сначала приводят к одной единице, площадь основания записывают в квадратных единицах, а результат получают в кубических.

Усечённое тело уже не сходится в одну вершину: сверху остаётся второе основание. Для него простой расчёт Bh/3 не подходит. Нужны отдельные формулы для усечённого конуса или усечённой пирамиды.

Чтобы не заучивать одну треть отдельно, держите в голове один переносимый тест. На половине высоты линейный размер сечения уменьшается вдвое, а площадь становится четвертью основания. Если все сечения продолжают уменьшаться по этому квадратному закону до одной вершины, перед площадью основания и высотой появляется коэффициент 1/3.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.