Почему давление воды зависит от высоты, а не от объёма бака
Давление воды у дна зависит от высоты столба, а не от объёма бака.
На двух баках высотой один метр разница видна без сложной физики. Расчёт отделит давление от общей силы, объяснит работу бака на крыше и покажет, почему длинный горизонтальный шланг не добавляет напор.
В статье вы узнаете:
Баки на 10 и 1000 литров дают у дна одно давление
Возьмём два открытых прямоугольных бака с вертикальными стенками. Первый имеет дно 10 на 10 см и высоту воды 1 м. Площадь его дна равна 0,01 м², а объём воды равен 0,01 м³, или 10 л.
У второго бака дно 1 на 1 м, высота воды та же. Его объём равен 1 м³, или 1000 л. В нём в сто раз больше воды.
Для бытовой оценки достаточно простого правила: каждый метр пресной воды добавляет у дна примерно 9,8 кПа, то есть около 0,1 бара. Поэтому у обоих баков давление одинаково, хотя в одном воды в сто раз больше.
Значение можно перевести в другие единицы в калькуляторе давления.
Мы сравниваем именно дополнительное давление воды. Воздух сверху тоже давит на поверхность обоих открытых баков, но добавляет к ним почти одинаковое атмосферное давление и не меняет сравнение.
Ширина добавляет воду и площадь одновременно
Представьте маленький квадрат на дне. Над ним стоит вертикальный столб воды высотой один метр. Чем выше этот столб, тем больше воды приходится на каждый квадратный сантиметр и тем сильнее давление.
Если расширить бак, рядом появятся другие такие столбы. Общая масса воды вырастет, но вырастет и площадь дна, между которой распределена нагрузка. Над каждым прежним квадратным сантиметром высота останется той же. Поэтому давление в выбранной точке не изменится.
После этого наблюдения формула читается проще. Для учебного расчёта примем плотность воды равной 1000 кг/м³, а ускорение свободного падения равным 9,80665 м/с²:
p означает дополнительное, или избыточное, давление воды в паскалях, ρ читается как «ро» и означает плотность жидкости в кг/м³, g обозначает ускорение свободного падения, а h означает вертикальную глубину точки под поверхностью в метрах.
Для глубины 1 м получается 1000 × 9,80665 × 1 = 9806,65 Па. В калькуляторе используется условный метр водяного столба: 1 м вод. ст. равен 9,80665 кПа. Реальный метровый столб воды даёт близкое значение, которое немного зависит от температуры воды и местного ускорения свободного падения.
В формуле нет общего объёма и ширины сосуда. Согласно разделу OpenStax о давлении в жидкости, в неподвижной жидкости давление на одной глубине одинаково и не зависит от формы ёмкости.
Слово «вертикальную» здесь решающее. Метр глубины даёт около 9,8 кПа. Метр шланга, который лежит на полу горизонтально, не даёт дополнительной высоты и сам по себе не повышает статическое давление.
Одинаковое давление не означает одинаковую нагрузку на все дно
Вернемся к двум бакам. Давление у их дна одинаково, но площади отличаются в сто раз. Чтобы получить общую силу на плоское горизонтальное дно, давление умножают на площадь:
У бака на 10 л сила от дополнительного давления воды равна:
У бака на 1000 л:
Первая сила примерно равна весу 10 кг воды, вторая весу 1000 кг. Давление на каждый квадратный метр одинаково, а квадратных метров во втором дне больше. Поэтому его конструкция получает намного большую общую нагрузку.
Здесь литры снова полезны, но отвечают на другой вопрос. В калькуляторе объёма бака можно сравнить ёмкости по размерам: прямоугольник 0,1 × 0,1 × 1 м даёт 10 л, а 1 × 1 × 1 м даёт 1000 л. Калькулятор покажет запас воды, но не давление у дна.
Наклонные стенки меняют объём, но не давление на той же глубине
Теперь оставим одинаковые дно и высоту, но изменим стенки. Один сосуд расширяется кверху, второй сужается, третий остаётся прямым. В них поместится разный объём воды. Давление в центре одинакового дна всё равно будет одним и тем же, если поверхности воды находятся на общей высоте.
На первый взгляд это странно. В расширенном сосуде воды может быть намного больше, чем будто бы «чувствует» его дно. Разницу принимают наклонные стенки: силы между водой и стенками имеют не только боковую, но и вертикальную часть. Если поставить на весы весь сосуд, весы по-прежнему учтут всю воду.
Этот результат иногда называют гидростатическим парадоксом. Парадоксом он кажется только пока смешаны три величины: давление в одной точке, сила на выбранную поверхность и вес всей воды. Они связаны, но не равны друг другу.
Для бака на крыше важен перепад по вертикали
Представим открытый бак, от нижней части которого труба идёт к закрытому крану. Если поверхность воды находится на 5 м выше крана, статическое избыточное давление перед ним в идеальной системе составляет около 49 кПа, или 0,49 бара. При перепаде 10 м получится около 98 кПа, или 0,98 бара.
Большой и маленький открытые баки дадут одинаковое статическое давление в точках, расположенных на одной высоте, если поверхности воды тоже находятся на одной высоте. Большой бак хранит больше воды и обычно дольше сохраняет уровень при расходе. По мере опустошения любого бака поверхность опускается, вертикальный перепад уменьшается, вслед за ним падает и доступный напор.
Длина трубы не заменяет высоту. Если свернуть десятиметровый шланг кольцами на одном уровне, дополнительный водяной столб не появится. Но при открытом кране длинный и узкий шланг сильнее мешает потоку. Часть запаса высоты уйдёт на трение о стенки, повороты и соединения, поэтому реальная струя окажется слабее идеального расчёта.
Прозрачная трубка показывает, что форма пути не важна
Возьмите прозрачную гибкую трубку без острых наконечников. Держите оба открытых конца вверх, согнув трубку буквой U, и понемногу налейте обычную воду. Для видимости можно добавить одну каплю пищевого красителя. Работайте над раковиной или подносом, держите воду вдали от розеток и не втягивайте её ртом.
Когда вода успокоится, её поверхности в двух концах окажутся на одной горизонтальной линии. Передвиньте нижнюю петлю в сторону или сделайте один изгиб шире. Вода в частях трубки перераспределится, но уровни снова совпадут.
Если одна поверхность окажется выше, на общей нижней точке с этой стороны будет более высокий столб и большее давление. Вода потечёт в другую сторону, пока высоты не сравняются. Опыт не измеряет паскали, зато показывает главное: для неподвижной соединённой воды важна вертикальная разница уровней, а не длина и рисунок трубки.
Простое правило работает не в любой системе
Формула ρgh даёт давление от неподвижного столба жидкости. В герметичном баке абсолютное давление у дна равно давлению газа над водой плюс ρgh. Если результат нужен относительно атмосферы, к ρgh добавляют избыточное давление газа относительно атмосферы. Два бака одинаковой высоты тогда могут дать разный результат из-за разного давления над поверхностью.
При открытом кране вода движется. У свободной струи после выхода статическое давление уже близко к атмосферному, а запас высоты превращается в скорость. Насос может добавить энергию, а узкая труба, фильтр, клапан и несколько поворотов заберут часть напора. Поэтому 9,8 кПа на метр служат оценкой доступного статического напора, но не обещанием конкретного расхода из душевой лейки.
Плотность тоже меняет ответ. Для бытовой воды удобно округлять её до 1000 кг/м³, но температура и растворённые вещества дают небольшую разницу. Для масла или другой жидкости нужно подставлять её собственную плотность.
И ещё одно ограничение относится к стенкам. На горизонтальном дне все точки находятся примерно на одной глубине. На вертикальной стенке верхняя часть испытывает меньшее давление, нижняя большее. Умножать давление у самого дна на площадь всей боковой стенки нельзя.
Для быстрой домашней оценки измерьте не литры, а перепад от поверхности воды до нужной точки по вертикали. Каждый метр пресной воды добавляет примерно 9,8 кПа. Затем проверьте два условия: открыта ли поверхность для воздуха и стоит ли вода на месте. Литры понадобятся следом, когда вопрос изменится с «какое давление» на «насколько хватит запаса».
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.