Диагональ, если известны площадь и периметр
Разделите периметр прямоугольника пополам, возведите результат в квадрат и вычтите удвоенную площадь. Корень из остатка даст диагональ. При площади 48 см² и периметре 28 см диагональ равна 10 см.
Формула пригодится, когда в задаче или на чертеже указаны площадь и длина контура. Проверьте единицы измерения и убедитесь, что оба числа могут относиться к одному прямоугольнику.
В статье вы узнаете:
Площадь 48 см² и периметр 28 см
На карточке указаны площадь и периметр. По этим числам известно, сколько места она занимает и какой длины лента нужна, чтобы обойти её по краю. Нужно узнать расстояние между противоположными углами.
- Половина периметра равна 28 ÷ 2 = 14 см. Это сумма длин двух соседних сторон, потому что в полном периметре каждая из них встречается дважды.
- Возведите сумму в квадрат. Получится 14² = 196 см².
- Вычтите две площади прямоугольника. Остаток равен 196 − 2 × 48 = 100 см².
- Извлеките квадратный корень. Диагональ равна 10 см.
В ответе снова сантиметры. Сантиметры в квадрате были нужны для промежуточных действий с площадями. В общем виде расчёт выглядит так.
Здесь P обозначает периметр, S обозначает площадь, d обозначает диагональ. Если в условии уже дали полупериметр, делить его ещё раз не нужно.
Откуда берутся две площади
Назовём стороны прямоугольника a и b. Диагональ делит его на два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора квадрат диагонали равен сумме a² и b². Эти слагаемые равны площадям квадратов на двух сторонах.
Нарисуйте один большой квадрат со стороной a + b. Отложите от одного угла длину a по горизонтали и по вертикали, затем проведите через отметки линии до противоположных сторон. Внутри окажутся четыре части: квадрат a × a, квадрат b × b и два одинаковых прямоугольника a × b.
У большого квадрата площадь (a + b)². Если убрать из него два прямоугольника, останутся как раз a² + b². Площадь каждого убранного прямоугольника уже есть в условии. Это S. Сторона большого квадрата тоже известна, она равна половине периметра. Получили квадрат диагонали, а затем извлекли корень.
Можно проверить первый пример обратным путём. Два числа, которые в сумме дают 14, а в произведении 48, это 8 и 6. Подставьте их в калькулятор диагонали прямоугольника. По двум сторонам он посчитает √(8² + 6²) и вернёт те же 10 см. Этот путь особенно удобен, если стороны всё равно нужны для чертежа или раскроя.
Положительный корень ещё не доказывает, что прямоугольник существует
Пусть периметр остался 28 см, а площадь в условии стала 52 см². Подстановка даст √(196 − 104) = √92. Корень существует, но никакой прямоугольник с этими данными построить нельзя.
При фиксированном периметре наибольшая площадь получается у квадрата. У квадрата с периметром 28 см каждая сторона равна 7 см, а площадь составляет 49 см². Любой прямоугольник с тем же периметром будет занимать не больше. Это видно и без чертежа: если сделать одну сторону на сантиметр длиннее семи, вторую придётся на сантиметр укоротить. Получится 8 × 6 = 48 см². При сдвиге на два сантиметра площадь упадёт до 9 × 5 = 45 см². Это правило работает для любой величины сдвига: прирост с одной стороны и потеря с другой взаимно сокращаются, и от площади квадрата остаётся отнять маленький квадрат со стороной, равной сдвигу.
Проверка занимает один шаг. Разделите периметр на четыре, возведите в квадрат и сравните с площадью из условия. Площадь должна быть больше нуля и не превосходить этого предела. Ровно на пределе получится квадрат. Если в учебной задаче площадь выше предела, проверьте запись числа и единицы. Если данные измеряли на месте, проверьте также округление и прямые углы. Формула относится к прямоугольнику.
Как привести метры и сантиметры к одним единицам
Предположим, по чертежу периметр небольшой панели равен 2 м, а её площадь указана как 2100 см². Удобнее перевести периметр в сантиметры. Два метра дают 200 см. Полупериметр равен 100 см, а его квадрат 10 000 см². Вычитаем 4200 см² и берём корень из 5800 см². Получается около 76,16 см.
Можно привести всё и к метрам. Один квадратный метр содержит 10 000 квадратных сантиметров, поэтому 2100 см² равны 0,21 м². Квадрат полупериметра равен 1 м². Вычитаем 0,42 м², берём корень и получаем около 0,7616 м. Ответы совпадают.
Проверка существования здесь тоже работает. Квадрат с таким периметром имел бы стороны по 50 см и площадь 2500 см². Заданные 2100 см² ниже этого предела. Если ошибочно принять 2100 см² за 21 м², проверка обнаружит проблему ещё до вычисления диагонали.
Что можно узнать, если одно из чисел потерялось
Одна площадь не определяет диагональ. Возьмём те же 48 см². Прямоугольник 8 × 6 см имеет диагональ 10 см, а прямоугольник 12 × 4 см занимает столько же места и даёт диагональ примерно 12,65 см. Площадь одна, форма различается.
То же самое с одним периметром. У прямоугольника 8 × 6 см периметр 28 см. Такой же периметр у фигуры 10 × 4 см, но диагональ у неё около 10,77 см. Если в условии указан квадрат, одной площади или периметра хватит, потому что у квадрата все стороны равны.
Для обычного прямоугольника сначала определите, что известно. По двум сторонам считайте сразу по Пифагору. Если есть только площадь и периметр, проверьте предел площади и вычтите две площади из квадрата полупериметра. А когда вместе с диагональю известен угол между диагоналями, можно восстановить стороны по углу.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.