Если известны длина диагонали d и меньший угол α между двумя диагоналями прямоугольника, его стороны находятся так: a = d × cos(α/2), b = d × sin(α/2). Здесь a ≥ b; у неквадратного прямоугольника a является длинной стороной, b короткой. Угол нужно вводить в градусах, а тупой измеренный угол сначала заменить дополнительным до 180°.
Дальше разберём, откуда взялись формулы, восстановим прямоугольник 3 × 4 по диагонали 5, проверим квадрат и очень вытянутую фигуру. Перед вычислением переключите инженерный калькулятор в режим градусов, обычно обозначенный DEG. Отдельно выясним, какой из четырёх углов при пересечении диагоналей нужно брать.
В статье вы узнаете:
У прямоугольника две равные диагонали. Поэтому достаточно знать длину одной из них. Ещё нужен меньший угол между линиями диагоналей. Он может быть острым или равным 90°.
Обозначим:
d: диагональ;α: меньший угол между диагоналями;a: сторона, которая не короче второй;b: сторона, которая не длиннее первой.Для обычного, невырожденного прямоугольника выполняются условия:
d > 0 и 0° < α ≤ 90°.
Почему угол не бывает больше 90°? При пересечении двух линий обычно образуются два одинаковых острых и два одинаковых тупых угла. У квадрата все четыре угла прямые. Под «углом между прямыми» понимают меньший из них. Если у неквадратного прямоугольника измерен тупой угол, его нужно сначала заменить дополнительным до 180°.
Например, измеритель показал 120°. Тогда меньший угол равен:
180° − 120° = 60°.
Именно 60° нужно подставлять в формулы.
Проведём обе диагонали и отметим их точку пересечения O. У прямоугольника диагонали равны и делят друг друга пополам. Поэтому отрезок от центра O до любой вершины имеет длину d/2.
Теперь проведём через O линию, параллельную длинным сторонам. Одна диагональ наклонена к ней вверх, другая на такой же угол вниз. Это следует из симметрии прямоугольника: у диагоналей одинаковые горизонтальные и вертикальные смещения, только одно из направлений меняется на противоположное.
Если угол одной диагонали к этой средней линии равен θ, то меньший угол между двумя диагоналями состоит из двух одинаковых частей:
α = θ + θ = 2θ.
Значит,
θ = α/2.
Это важный шаг. В формулах сторон нужен не весь угол между диагоналями, а его половина.
Рассмотрим треугольник от центра прямоугольника до одной вершины. Его гипотенуза является половиной диагонали и равна d/2. Горизонтальный катет равен половине длинной стороны a/2, вертикальный катет половине короткой стороны b/2.
Для угла θ = α/2 косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
cos θ = (a/2) ÷ (d/2).
Двойки сокращаются:
cos θ = a/d.
Отсюда:
a = d cos θ = d cos(α/2).
Синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
sin θ = (b/2) ÷ (d/2) = b/d.
Отсюда:
b = d sin θ = d sin(α/2).
Так две неизвестные стороны находятся по двум известным данным. Отдельно решать систему уравнений не требуется.
Предположим, по чертежу или измерению известны диагональ d = 5 см и меньший угол между диагоналями α = 73,7398°. Нужно найти обе стороны прямоугольника.
Сначала делим угол пополам:
α/2 ≈ 36,8699°.
Находим длинную сторону:
a = 5 см × cos 36,8699°.
Косинус этого угла равен 0,8, поэтому:
a = 5 см × 0,8 = 4 см.
Находим короткую сторону:
b = 5 см × sin 36,8699°.
Синус равен 0,6:
b = 5 см × 0,6 = 3 см.
Получили прямоугольник 4 × 3 см. Проверка по теореме Пифагора:
√(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
Диагональ совпала с исходной. Значение угла подобрано не случайно: это точный обратный пример для треугольника со сторонами 3, 4 и 5, но при решении мы использовали только данные задачи.
Когда стороны уже известны, площадь равна их произведению:
S = a × b.
Для примера 3 × 4:
S = 4 × 3 = 12.
Площадь можно получить напрямую, не вычисляя обе стороны по отдельности:
S = d² × sin α ÷ 2.
Для диагонали 5 и угла 73,7398°:
S = 5² × sin 73,7398° ÷ 2;
S = 25 × 0,96 ÷ 2 = 12.
Почему формула работает? Подставим выражения сторон:
S = d cos(α/2) × d sin(α/2).
Получается произведение d² на синус и косинус половины угла. По формуле двойного угла 2 sin θ cos θ = sin 2θ. Здесь 2θ = α, поэтому произведение синуса и косинуса равно sin α ÷ 2.
Калькулятор площади прямоугольника уже имеет режим «Диагонали и угол между ними». Он пригодится как быстрая проверка площади после ручного расчёта сторон.
Периметр равен удвоенной сумме сторон:
P = 2(a + b).
После подстановки формул:
P = 2d[cos(α/2) + sin(α/2)].
Для прямоугольника 3 × 4:
P = 2 × (4 + 3) = 14.
Периметр здесь нужен только как дополнительная проверка. Из одной диагонали его определить нельзя: прямоугольники с одинаковой диагональю могут быть квадратными или очень вытянутыми.
Если меньший угол между диагоналями равен 90°, его половина равна 45°.
Синус и косинус 45° одинаковы:
sin 45° = cos 45° = 1/√2 ≈ 0,7071.
Поэтому обе стороны тоже одинаковы:
a = b = d/√2.
Прямоугольник с равными сторонами является квадратом. При диагонали 5:
a = b = 5/√2 ≈ 3,5355.
Площадь:
S = 5² × sin 90° ÷ 2 = 25 × 1 ÷ 2 = 12,5.
Это наибольшая возможная площадь прямоугольника с диагональю 5. Для любого меньшего угла sin α будет меньше единицы, поэтому и площадь уменьшится.
Пусть диагональ равна 10, а меньший угол между диагоналями всего 20°. Половина угла равна 10°.
Длинная сторона:
a = 10 × cos 10° ≈ 9,8481.
Короткая сторона:
b = 10 × sin 10° ≈ 1,7365.
Площадь:
S ≈ 9,8481 × 1,7365 ≈ 17,1010.
Проверим прямой формулой:
S = 10² × sin 20° ÷ 2 ≈ 17,1010.
Результаты совпали. При той же диагонали квадрат имел бы площадь 50, а вытянутый прямоугольник получил только около 17,1.
Чем меньше угол α, тем ближе длинная сторона к диагонали и тем короче вторая сторона. При угле, стремящемся к нулю, фигура становится всё уже. В самом нуле короткая сторона и площадь равны нулю, поэтому это уже вырожденный отрезок, а не обычный прямоугольник.
Чаще всего ошибка появляется ещё до вычислений. На рисунке могут быть отмечены разные углы, и оба связаны с диагональю.
Угол между диагоналями α. Это меньший угол в точке их пересечения. В формулах сторон он делится пополам.
Угол диагонали к длинной стороне θ. Это угол у вершины прямоугольника между диагональю и стороной. Он уже равен α/2, поэтому повторно делить его не нужно.
Для прямоугольника 3 × 4:
θ ≈ 36,8699°;α ≈ 73,7398°.Если в задаче дано 36,87° как угол диагонали к стороне, сразу используйте:
a = d cos θ, b = d sin θ.
Если дано 73,74° как угол между диагоналями, сначала возьмите половину.
Диагональ в общем случае не делит прямой угол вершины пополам. Это происходит только у квадрата. Поэтому нельзя автоматически считать угол диагонали к стороне равным 45°.
Две диагонали пересекаются и образуют четыре угла. Допустим, на чертеже подписан тупой угол β = 106,2602°. Формулы ожидают меньший угол, поэтому:
α = 180° − β;
α = 180° − 106,2602° = 73,7398°.
После этого снова получатся стороны 4 и 3 при диагонали 5.
Если без преобразования подставить 106,2602° в формулы, синус площади случайно даст то же значение, потому что синусы дополнительных углов равны. Но формулы сторон перестанут обозначать длинную и короткую стороны так, как описано выше. Поэтому лучше всегда переходить к меньшему углу.
Для найденных сторон должно выполняться:
a² + b² = d².
Можно ввести стороны в калькулятор диагонали прямоугольника и сравнить результат с исходным d.
Сначала посчитайте a × b, затем d² sin α ÷ 2. Ответы должны совпасть с учётом округления.
Эту же проверку можно увидеть через треугольники. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Их общая площадь должна вернуть площадь всей фигуры. Для других задач с двумя сторонами и углом пригодится калькулятор площади треугольника.
При угле, близком к 90°, стороны должны быть близки друг к другу. При маленьком угле одна сторона должна быть почти равна диагонали, а другая заметно меньше. Если получилось наоборот, скорее всего, перепутан угол или режим градусов и радиан.
Подставить весь угол вместо половины. В формулах сторон стоят sin(α/2) и cos(α/2). Это главный источник неверного ответа.
Взять тупой угол. Сначала найдите меньший: α = 180° − β.
Включить радианы вместо градусов. Если задача даёт угол со знаком °, научный калькулятор должен быть в режиме DEG. В режиме RAD те же цифры означают совсем другой угол.
Округлить угол слишком рано. В примере 3 × 4 лучше хранить 73,7398°, а не превращать его в 74° до вычисления сторон. Округляйте окончательный ответ.
Считать, что диагональ определяет прямоугольник одна. При одной диагонали возможны бесконечно многие формы. Второй параметр, угол или одна из сторон, обязателен.
Использовать нулевой угол. При α = 0° короткая сторона равна нулю. Формула вычисляется, но настоящего прямоугольника с площадью уже нет.
d и меньший угол α между диагоналями.180° − β.θ = α/2.a = d cos θ.b = d sin θ.S = ab и периметр P = 2(a + b).a² + b² = d².Вся задача держится на одной простой картинке: половина диагонали является гипотенузой прямоугольного треугольника, а половины сторон являются его катетами. Как только угол между диагоналями разделён пополам, синус и косинус сразу дают нужные размеры.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.