Вероятность хотя бы одного успеха

Для равных независимых попыток шанс хотя бы одного успеха равен 1 − (1 − p)^n. Разбираем формулу, приближение np и границы модели в задачах.

Евгений Буянов - автор статьи, основатель проекта, преподаватель МГУ имени М.В. Ломоносова.

Вероятность хотя бы одного успеха

Дальше вы выведете точную формулу без скачка через слова «очевидно», отличите вероятность от ожидаемого числа успехов и проверите расчёт сериями обычных бросков монеты.

В статье вы узнаете:

«Хотя бы один» проще найти через ноль успехов

Пусть одна попытка заканчивается успехом с вероятностью p. Успехом может быть орёл, попадание в цель, отказ детали или покупка после показа объявления. Название не важно. Важно заранее определить событие и не менять его посреди расчёта.

Сначала возьмём три независимые попытки. Слово «независимые» означает, что результат одной не меняет вероятность следующей. Вероятность неудачи в одной попытке равна 1 − p. Чтобы получить ноль успехов во всех трёх попытках, нужны три неудачи подряд:

P(0)=(1−p)⋅(1−p)⋅(1−p)=(1−p)3\displaystyle P(0)=(1-p)\cdot(1-p)\cdot(1-p)=(1-p)^3

Для n попыток множителей будет n. Получаем вероятность полного отсутствия успехов:

P(0)=(1−p)n\displaystyle P(0)=(1-p)^n

Теперь используется противоположное событие, или дополнение. В каждой серии происходит одно из двух: либо успехов нет, либо есть как минимум один. Вместе эти варианты занимают всю вероятность, то есть единицу. Поэтому:

P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)n\displaystyle P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n

Если шанс успеха в одной попытке равен 20%, а попыток пять, вероятность ни разу не добиться успеха составляет 0,85 = 0,32768. Вычитаем это число из единицы и получаем 0,67232, или 67,232%. Это не пять раз по 20%. Повторные попытки частично перекрывают друг друга, потому что в одной серии успех может произойти два, три или сразу пять раз.

Правило дополнения полезно шире этой задачи. Учебник OpenStax формулирует «хотя бы один успех» как противоположность событию «ни одного успеха» и показывает тот же ход на бросках кубика. [OpenStax, Probability Theory]

Произведение np считает среднее, а не шанс события

Умножение n на p выглядит убедительно. Одна попытка даёт 10%, десять попыток будто бы должны дать 100%. Но вероятность не может расти выше 100%, а произведение спокойно выдаёт 150%, 200% и больше. Значит, оно считает другую величину.

np является математическим ожиданием количества успехов. Это среднее, к которому приближается число успехов на одну серию, если повторять одинаковые серии много раз. В десяти попытках с p = 20% ожидается в среднем два успеха. В отдельной серии их может быть ноль, один, два или десять. Среднее не обещает конкретный исход.

Точная вероятность хотя бы одного успеха и значение np
pnP(хотя бы один)np, успеха на серию
1%100,0956, или 9,56%0,1
5%100,4013, или 40,13%0,5
10%50,4095, или 40,95%0,5
10%100,6513, или 65,13%1
20%100,8926, или 89,26%2
50%30,875, или 87,5%1,5

При малом p и небольшом np числа близки на шкале от 0 до 1. Например, десять попыток по 1% дают точную вероятность 0,0956 против np = 0,1. Если использовать второе число как грубую вероятность, получатся 10% вместо 9,56%. Причина близости проста: шанс двух и более успехов пока мал, поэтому почти все успешные серии содержат ровно один успех. Как только повторные успехи становятся заметными, np всё чаще считает несколько успехов внутри одной и той же серии, а вероятность «хотя бы одного» учитывает такую серию только один раз.

Есть и полезная строгая связь. Для любых событий сумма их вероятностей служит верхней границей вероятности объединения. В одинаковых попытках это даёт:

P(X≥1)≤min⁡(1,np)\displaystyle P(X\ge 1)\le \min(1,np)

Поэтому np можно использовать как быструю верхнюю оценку, а при редких успехах ещё и как приближение. Но подпись возле числа должна оставаться честной. «Ожидается 0,1 успеха на серию» и «шанс успешной серии около 10%» звучат похоже только в узком режиме малых вероятностей.

Справочник NIST для биномиального распределения отдельно указывает среднее np, а вероятность конкретного количества успехов задаёт другой формулой. [NIST, Binomial Distribution]

«Ровно k» требует биномиальной формулы

Событие «хотя бы один успех» объединяет много исходов: один успех, два, три и так далее до n. Событие «ровно два успеха» оставляет только один слой. Дополнение быстро складывает все ненулевые слои сразу, но не умеет выделить один из них.

Для ровно k успехов в n независимых одинаковых попытках используется биномиальная формула:

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k\displaystyle P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Степень pk отвечает за k успехов, а (1 − p)n − k за остальные неудачи. Коэффициент перед ними считает, в каких позициях могут расположиться успехи. Например, два орла в четырёх бросках появляются в последовательностях ООРР, ОРОР, ОРРО, РООР, РОРО и РРОО. Вероятность каждой равна 1/16, вариантов шесть, итог равен 6/16 = 37,5%.

Количество таких расположений можно получить в калькуляторе числа сочетаний. Для четырёх позиций и двух успехов он выдаст C(4, 2) = 6. Порядок внутри выбранного набора не важен, но сам выбор позиций важен для подсчёта возможных последовательностей.

Теперь сравним три вопроса для четырёх честных бросков монеты:

  • ожидаемое количество орлов равно np = 4 × 0,5 = 2;
  • вероятность ровно двух орлов равна 37,5%;
  • вероятность хотя бы одного орла равна 1 − 0,54 = 93,75%.

Одни и те же n и p дали три разных ответа, потому что вопросы различались. Прежде чем открывать калькулятор, полезно дописать рядом с неизвестным существительное: вероятность серии, число успехов или вероятность ровно k успехов. Половина ошибок исчезает уже на этой строке.

Точная степень требует независимости и постоянного p

Формула 1 − (1 − p)n описывает биномиальную модель. В каждой попытке есть два исхода относительно выбранного события, вероятность успеха остаётся одной и той же, а попытки независимы. Если хотя бы одно условие нарушено, степень может красиво посчитаться и всё равно ответить не на вашу задачу.

Вероятности различаются. Допустим, три независимых датчика замечают сбой с вероятностями 80%, 70% и 40%. Для отсутствия сигнала должны промолчать все три: 0,2 × 0,3 × 0,6 = 0,036. Поэтому вероятность хотя бы одного сигнала равна 96,4%. Общая формула выглядит так:

P(хотя бы один)=1−∏i=1n(1−pi)\displaystyle P(\text{хотя бы один})=1-\prod_{i=1}^{n}(1-p_i)

Попытки зависимы. Карты вытаскивают из колоды без возврата, заряд батареи уменьшается после каждого запуска, обучение улучшает следующий подход, а усталость ухудшает его. Тогда вероятность новой неудачи зависит от уже случившегося. Сам принцип дополнения сохраняется, но вероятность всех неудач нужно получать из условных вероятностей конкретного процесса, а не возводить одну долю в степень.

У зависимости может быть разное направление. Положительная связь собирает успехи и неудачи в серии: хороший день помогает нескольким попыткам подряд, плохой портит их вместе. Отрицательная связь компенсирует результаты: после выбора одной карты состав колоды меняется. По одному значению p определить итог уже нельзя.

Отдельный случай, который легко спутать с этой статьёй, разбирает парадокс дней рождения. Там ищут любое совпадение среди множества пар, а события пар перекрываются и зависят друг от друга. Формула через противоположное событие снова помогает, но произведение устроено иначе: число свободных дат уменьшается с каждым новым человеком.

Проверьте единицу попытки. Десять кликов одного пользователя могут зависеть от общей мотивации, устройства и рекламного сообщения. Десять случайно выбранных пользователей тоже не автоматически независимы, если они пришли из одной компании или увидели одну распродажу. Математическая модель начинается не со степени, а с честного описания процесса.

Серии бросков показывают, что вероятность не равна обещанию

Формулу можно проверить монетой. Считайте орла успехом и объединяйте броски в серии по четыре. Для честной независимой монеты вероятность хотя бы одного орла в серии равна:

1 − (1 − 0,5)4 = 1 − 1/16 = 15/16 = 93,75%

Проведите 100 серий. В каждой сделайте ровно четыре броска и запишите только один результат серии: 1, если появился хотя бы один орёл, и 0, если выпали четыре решки. Затем сложите единицы и разделите сумму на 100. Для воспроизводимого ручного опыта можно подбрасывать монету онлайн по четыре раза, не меняя правило между сериями.

Не считайте общее количество орлов. Это другая статистика, её среднее стремится к np = 2 орла на серию. Здесь каждая серия весит один балл независимо от того, выпал в ней один орёл или четыре. Так эксперимент повторяет формулировку события, а не просто производит много случайных чисел.

Результат не обязан равняться 93 или 94 успешным сериям. Вероятность 93,75% описывает долгую долю при повторении одинакового опыта, а не расписание для ближайшей сотни. Можно получить 90, 95 или 98 успешных серий. Если повторить весь блок ещё несколько раз, доля будет колебаться вокруг расчётного значения.

Для более заметного разброса возьмите две монеты в серии. Вероятность хотя бы одного орла равна 75%, поэтому неуспешные серии встречаются чаще и легче видны. Главное не выбирать длину после просмотра результатов. Иначе эксперимент начинает подгоняться под желаемый ответ, а монета внезапно получает обязанности, на которые не подписывалась.

Проценты удобно перевести в доли и обратно в калькуляторе процентов. В самой формуле используйте p от 0 до 1: 7% превращаются в 0,07, а 0,9365 обратно в 93,65%.

Сначала назовите событие, потом выбирайте формулу

Новая задача решается без угадывания, если пройти несколько вопросов по порядку. Что считается одной попыткой? Что именно считается успехом? Нужен хотя бы один успех, ровно k или среднее количество? Одинакова ли вероятность в каждом повторе? Может ли один результат изменить следующий?

Если нужен хотя бы один успех, попытки независимы и имеют одинаковый шанс p, считайте 1 − (1 − p)n. При разных независимых шансах перемножайте вероятности отдельных неудач. При зависимости стройте вероятности по состояниям процесса или используйте условные вероятности. Простая степень там не получает автоматического пропуска.

Для быстрой проверки посмотрите на границы. При n = 1 ответ должен стать p. При p = 0 он равен нулю, при p = 1 единице. Рост числа независимых попыток не уменьшает шанс хотя бы одного успеха, но результат никогда не превышает 100%. Если вычисление нарушает хотя бы одну границу, ошибка нашлась раньше калькулятора.

np оставьте на своём месте: это ожидаемое количество успехов и полезная верхняя оценка вероятности. Оно близко к вероятности успешной серии только тогда, когда успех редок и повторные успехи внутри одной серии почти не встречаются.

Самый практичный вывод помещается в одну строку: для «хотя бы одного» сначала посчитайте шанс, что не случится ни одного. Эта формулировка убирает пересечения, удерживает ответ в пределах 100% и сразу показывает, какие предположения вы сделали о каждой попытке.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

ГлавнаяЖурнал расчётовВероятность хотя бы одного успеха