Числа образуют вложенные множества: натуральные входят в целые, целые в рациональные, рациональные в вещественные, а вещественные в комплексные. Кватернионы и октонионы продолжают одну из ветвей расширения. Иррациональные, простые, отрицательные и трансцендентные числа относятся к другим классификациям, поэтому одно число может иметь сразу несколько названий.
Дальше вы научитесь определять наименьшее множество для любого знакомого числа, поймёте, зачем математики добавляли новые числа и какие привычные законы пришлось ради этого потерять.
В статье вы узнаете:
Число выражает количество, порядок или результат измерения. Цифра служит знаком для записи числа. В десятичной системе всего десять цифр от 0 до 9, но чисел бесконечно много.
Одно и то же число двенадцать можно записать как 12, XII, 11002 или дюжину. Записи разные, число одно. Поэтому «двоичное число» в бытовой речи чаще означает число, записанное в двоичной системе, а не отдельный математический вид. Можно перевести запись между системами счисления, но натуральное число от этого не превратится в рациональное или комплексное.
Дроби и десятичные записи тоже могут обозначать одно значение: 1/2, 0,5 и 50% равны. Вид числа определяется его математическими свойствами, а не наличием черты, запятой, корня или необычного символа.
Важно. У числа может быть несколько правильных названий одновременно. Число 12 натуральное, целое, рациональное, вещественное и комплексное. Обычно называют самое маленькое привычное множество, которое уже содержит число. Для 12 это натуральные числа.
Основная лестница возникает из простого желания: выполнять новую операцию и не получать ответ «такого числа у нас нет».
Натуральных чисел достаточно для счёта. Вычитание потребовало целых чисел, деление привело к рациональным, а измерения и пределы заполнили числовую прямую вещественными. Получилась цепочка вложенных множеств.
Знак ⊂ читается как «является подмножеством». Каждое натуральное число является целым, но не каждое целое натуральное. Так же устроены следующие переходы.
Натуральные числа используют для счёта и нумерации: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. С ними можно без ограничений складывать и умножать. Результат снова будет натуральным.
С вычитанием это уже не работает. В выражении 3 − 5 натурального ответа нет. Деление тоже выводит наружу: 1 : 2 не является натуральным числом.
Насчёт нуля существуют две договорённости. В школьных учебниках натуральный ряд часто начинается с 1. В теории множеств и программировании к N нередко относят 0. Поэтому аккуратный автор указывает принятую договорённость, а множество неотрицательных целых при необходимости записывает как Z≥0.
Целые числа включают натуральные числа, ноль и отрицательные числа: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... Буква Z происходит от немецкого слова Zahlen, то есть «числа».
Целые числа закрывают проблему вычитания. Теперь у 3 − 5 есть ответ −2. Они подходят для температуры ниже нуля, этажа под землёй, долга и изменения величины. Но 1 : 2 по-прежнему не помещается в Z.
Рациональным называется число, которое можно представить отношением двух целых чисел m и n при n ≠ 0.
К рациональным относятся 3/4, −7/2, 5 и 0. Любое целое число можно записать со знаменателем 1, например 5 = 5/1. Черта дроби в исходной записи необязательна: 0,125 рационально, потому что равно 1/8.
Десятичная запись рационального числа либо заканчивается, либо после некоторого места повторяется. Число 1/3 записывается как 0,333..., а 7/12 как 0,58333... Равенство 0,999... = 1 тоже не фокус: бесконечная периодическая запись обозначает обычное рациональное число. Для вычислений с такими значениями можно использовать калькулятор дробей.
Иррациональное число нельзя записать как m/n для целых m и n. Его десятичная запись бесконечна и не становится периодической. К таким числам относятся √2, π и e.
Корень в записи ещё не доказывает иррациональность. √4 = 2 является натуральным числом, а √(9/16) = 3/4 рациональным. И наоборот, бесконечная десятичная запись может быть рациональной, если в ней есть повторяющийся период.
Главная поправка к популярным схемам. Иррациональные числа не стоят ступенью между Q и R. Рациональные и иррациональные числа являются двумя непересекающимися частями вещественных чисел. Вместе они заполняют R.
Вещественные числа соответствуют всем точкам бесконечной числовой прямой. Здесь уже есть длина диагонали единичного квадрата √2, длина окружности через π и пределы сходящихся последовательностей.
Слово «все точки» сообщает важное свойство R, которое называют полнотой. У рациональных чисел на прямой остаются пробелы. Можно подбирать дроби 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 и всё точнее приближать √2, но ни одна дробь не станет им точно. Вещественные числа добавляют предел такой последовательности и закрывают пробел.
Для сложения, вычитания, умножения и деления на ненулевое число R хватает. Но уравнение x² = −1 вещественного решения не имеет: квадрат любого вещественного числа неотрицателен. Следующее расширение уводит нас с прямой на плоскость.
Комплексное число записывается как a + bi, где a и b вещественные, а мнимая единица i удовлетворяет условию i² = −1.
Число a называют вещественной частью, b мнимой частью. Если b = 0, получается обычное вещественное число. Поэтому R входит в C. Если a = 0 и b ≠ 0, число bi называют чисто мнимым. Число 2 + 3i комплексное, но не чисто мнимое.
Слово «мнимое» историческое и слегка вредное: эти числа не менее настоящие, чем отрицательные. Их удобно изображать точками на комплексной плоскости. Горизонтальная координата показывает a, вертикальная b. Сложение перемещает точку, а умножение сочетает изменение масштаба и поворот.
Комплексные числа закрывают алгебраическую проблему корней. Уравнение x² + 1 = 0 получает решения i и −i. Более общий результат называется основной теоремой алгебры: любой многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень. Если учитывать кратность, многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней.
За это расширение приходится заплатить привычным порядком. Комплексные числа нельзя расположить на одной прямой и ввести для них знаки < и > так, чтобы одновременно сохранились обычные правила упорядоченного поля. Фразы «3 + 4i больше 5 + i» без дополнительного критерия просто не имеют стандартного смысла.
Научные калькуляторы работают с константами, степенями, корнями и тригонометрией, но конкретный интерфейс может ограничиваться вещественными результатами. Поэтому сообщение «нет решения» иногда означает «нет вещественного решения», а не отсутствие решения вообще.
Популярная картинка продолжается буквами H и O. Такая цепочка существует, но после комплексных чисел слово «число» начинает означать более общую алгебраическую систему. Мы сохраняем сложение, умножение, норму и деление на ненулевой элемент, зато постепенно отказываемся от знакомых законов.
В этой записи используются выбранные стандартные вложения. Например, комплексное число a + bi считают кватернионом a + bi + 0j + 0k. Внутри кватернионов есть и другие плоскости, которые ведут себя как комплексные числа, поэтому единственная картинка скрывает часть симметрии.
Кватернион состоит из четырёх вещественных компонентов.
Новые единицы удовлетворяют соотношению i² = j² = k² = ijk = −1. Самое заметное отличие от обычных чисел: порядок множителей важен. Получается ij = k, но ji = −k. Умножение кватернионов некоммутативно.
Кватернионы удобно используют для описания поворотов в трёхмерном пространстве. Они встречаются в компьютерной графике, робототехнике, навигации и управлении ориентацией аппаратов. Четыре компонента не означают, что объект обязан жить в физическом четырёхмерном пространстве: кватернион может кодировать обычный трёхмерный поворот.
Октонион имеет восемь вещественных компонентов. Умножение остаётся некоммутативным и дополнительно перестаёт быть ассоциативным. Для некоторых x, y и z выражения (xy)z и x(yz) дают разные результаты, поэтому скобки становятся частью смысла.
Полный хаос всё же не наступает. Октонионы альтернативны: выражения с двумя повторяющимися элементами ведут себя ассоциативно, а любая пара элементов порождает ассоциативную подалгебру. У каждого ненулевого октониона есть обратный элемент.
Теорема Гурвица объясняет особое место этой цепочки. Над вещественными числами существует ровно четыре конечномерные нормированные алгебры с делением: R, C, H и O. Их размерности равны 1, 2, 4 и 8. Подробные свойства и связи октонионов с геометрией и физикой собраны в научном обзоре Джона Баэса [Baez, 2002].
Процесс удвоения можно продолжить и получить 16-мерные седенионы. Но они уже не являются алгеброй с делением: существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю. Поэтому октонионы не «последние возможные числа», а последний член именно этой цепочки, где сохраняются норма и деление.
| Система | Размерность над R | Коммутативность умножения | Ассоциативность умножения |
|---|---|---|---|
| R | 1 | есть | есть |
| C | 2 | есть | есть |
| H | 4 | нет | есть |
| O | 8 | нет | нет |
Вот настоящая идея картинки: множества расширяются, но каждое расширение меняет правила игры. Наружный слой не всегда «лучше» внутреннего. Для подсчёта яблок кватернионы бесполезно роскошны.
Вложенная цепочка отвечает на вопрос, в какой системе разрешено число и какие операции в ней работают. Но числа классифицируют и по другим признакам. Эти группы не обязаны быть ступенями одной лестницы.
Положительные, отрицательные и ноль. Знак делит вещественные числа по положению относительно нуля. Сам ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Для комплексных чисел стандартного деления на положительные и отрицательные нет.
Чётные и нечётные. Это свойство целых чисел. Чётное число делится на 2 без остатка, нечётное даёт остаток 1 или −1 в зависимости от принятой записи остатка. Ноль чётный, потому что 0 = 2 × 0. Дробь 1/2 не бывает ни чётной, ни нечётной.
Простые и составные. Классификация относится к натуральным числам больше 1. Простое число имеет ровно два положительных делителя: 1 и само себя. Составное имеет больше двух. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным, а 2 является единственным чётным простым числом.
Алгебраические и трансцендентные. Комплексное число называют алгебраическим, если оно служит корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами. Числа √2 и i алгебраические: первое решает x² − 2 = 0, второе x² + 1 = 0. Число, которое не является корнем ни одного такого многочлена, называют трансцендентным. π и e трансцендентны.
Все трансцендентные вещественные числа иррациональны, но не каждое иррациональное число трансцендентно. √2 даёт короткий контрпример. Более того, алгебраических чисел счётно много, а вещественных несчётно много. В строгом математическом смысле почти все вещественные числа трансцендентны, хотя назвать конкретные знакомые примеры труднее, чем встретить их в доказательстве.
Конечные, периодические и непериодические десятичные записи. Это свойство записи, тесно связанное с рациональностью. Рациональные числа имеют конечную или периодическую десятичную запись. Иррациональные имеют бесконечную непериодическую. Количество напечатанных знаков ничего не доказывает: 3,14 является рациональным приближением, а π остаётся иррациональным числом. Можно посмотреть нужное количество цифр π, но любая конечная строка будет только приближением.
Поэтому число 12 одновременно натуральное, целое, рациональное, вещественное, комплексное, положительное, чётное, составное и алгебраическое. Названия не спорят друг с другом, потому что отвечают на разные вопросы.
Математики меняют не только допустимые операции, но и само понятие расстояния, порядка или бесконечности. Поэтому за пределами школьной схемы начинается дерево, а не восьмой, девятый и десятый круг одной мишени.
Вычеты по модулю. На циферблате после 11 идёт 0, а 10 + 5 даёт 3 по модулю 12. Здесь числа объединяют по одинаковым остаткам. Такая арифметика работает в календарях, криптографии, контрольных суммах и компьютерных алгоритмах. Она не расширяет вещественную прямую, а сворачивает целые числа в конечный цикл.
p-адические числа. В обычной геометрии числа близки, если мала их разность. В p-адической системе для простого p близость определяется тем, на какую большую степень p делится разность. Так получают другое пополнение рациональных чисел. Qp и R растут из Q разными ветвями, поэтому p-адические числа нельзя просто нарисовать ещё одним кругом вокруг вещественных.
Гипервещественные числа. Они расширяют R бесконечно малыми и бесконечно большими значениями. Положительное бесконечно малое ε меньше 1/n для любого обычного натурального n, но не равно нулю. Такие числа дают строгий язык для нестандартного анализа, где производную можно понимать через бесконечно малое приращение.
Сюрреальные числа. Система Джона Конвея содержит вещественные числа, бесконечно малые и трансфинитные значения. Она выросла из теории игр и строится рекурсивно из левого и правого наборов уже созданных чисел. Сюрреальные числа настолько велики как класс, что их нельзя считать очередным конечномерным слоем после октонионов.
Кардинальные и порядковые числа. Кардиналы описывают размер множества, ординалы порядок элементов. Для конечных наборов различие почти незаметно: три книги имеют мощность 3, а третья книга занимает позицию 3. На бесконечных множествах размер и порядок расходятся, появляются разные виды бесконечности.
Бесконечность ∞ обычно не является вещественным числом. В анализе символ сообщает, что величина растёт без границы. Иногда к R формально добавляют +∞ и −∞, чтобы удобнее записывать пределы, но обычная арифметика сохраняется не полностью. Например, ∞ − ∞ не имеет одного определённого значения.
Матрицы, векторы, функции и многочлены тоже можно складывать и умножать по определённым правилам, но обычно их называют алгебраическими объектами, а не видами чисел. Граница термина зависит от задачи и от того, какие свойства обычной арифметики удалось сохранить.
Сначала отделите само число от его записи. Затем найдите наименьшее множество в основной цепочке и только после этого добавьте независимые свойства.
| Число | Наименьшее привычное множество | Другие верные свойства |
|---|---|---|
| 12 | натуральные N | целое, рациональное, положительное, чётное, составное, алгебраическое |
| −7 | целые Z | рациональное, вещественное, отрицательное, нечётное, алгебраическое |
| 3/8 | рациональные Q | вещественное, положительное, алгебраическое |
| √2 | вещественные R | иррациональное, положительное, алгебраическое |
| π | вещественные R | иррациональное, положительное, трансцендентное |
| i | комплексные C | чисто мнимое, алгебраическое |
| j | кватернионы H | не входит в выбранную стандартную плоскость a + bi |
Что хочется сказать в конце. Схема N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C ⊂ H ⊂ O полезна, если видеть в ней историю расширений, а не полный каталог. Она показывает, как математика разрешала новые операции и какие законы при этом теряла. Остальные названия чисел образуют пересекающиеся слои и отдельные ветви. Поэтому хороший ответ на вопрос «какого вида это число?» всегда начинается со встречного уточнения: по какому признаку мы его классифицируем.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.