Как сократить дробь
Чтобы сократить дробь, разделите её числитель и знаменатель на одно и то же число. Например, 18/24 = 3/4: обе части разделили на 6.
Сокращение не меняет размер доли, хотя числа в записи становятся меньше. Разберём это на рисунке, научимся находить общий делитель простым и надёжным способом, а затем проверим случаи, в которых легко ошибиться: большие числа, минус, неправильная дробь и ноль.
В статье вы узнаете:
- Один пример: почему 18/24 превращается в 3/4
- Что именно разрешено делать с числителем и знаменателем
- Как быстро заметить общий делитель
- НОД: один шаг для больших чисел
- Как понять, что ответ верный
- Неправильная, смешанная и отрицательная дроби
- Три ошибки, которые стоит ловить до ответа
- Три контрольных разбора
Один пример: почему 18/24 превращается в 3/4
Представьте лист из 24 одинаковых клеток. Разделите его на четыре одинаковые группы по шесть клеток и полностью закрасьте три группы. Получилось 18 закрашенных клеток из 24, то есть 18/24 листа. Если считать целые группы, закрашены три из четырёх. Ту же долю можно назвать 3/4.
На бумаге мы делаем ровно это: 18 ÷ 6 = 3 и 24 ÷ 6 = 4. Шестёрка подходит, потому что и 18, и 24 делятся на неё без остатка. Важная деталь: разделили оба числа. Если разделить только 18, из 18/24 получится 3/24, а это уже другая, гораздо меньшая доля.
В рисунке 18 маленьких закрашенных клеток никуда не исчезли. Мы лишь сменили единицу счёта: вместо отдельных клеток считаем одинаковые пачки по шесть. Поэтому запись стала короче, а доля целого осталась прежней.
Что именно разрешено делать с числителем и знаменателем
Верхнее число дроби называется числителем, нижнее знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое; числитель сообщает, сколько таких частей взяли. Чтобы сократить дробь, ищите общий делитель этих двух целых чисел: такое число, на которое оба делятся без остатка. Делитель должен быть больше 1.
Например, у 18 и 24 общие положительные делители 1, 2, 3 и 6. Деление на 2 даёт 9/12, на 3 даёт 6/8, на 6 сразу даёт 3/4. Все четыре записи, включая исходную 18/24, обозначают одну долю. А вот делить числитель на 3 и знаменатель на 2 нельзя: 18/24 превратится в 6/12 = 1/2, что не равно 3/4.
Делить можно постепенно. Сначала 18/24 разделите на 2 и получите 9/12. Потом обе части новой дроби разделите на 3: получится 3/4. Этот путь удобен, когда большой общий делитель не виден сразу. После каждого шага спрашивайте себя: «На одно и то же число я разделил верх и низ?»
Сокращение заканчивается, когда у числителя и знаменателя больше нет общего положительного делителя, кроме 1. Такую дробь называют несократимой. Для 3/4 это уже так: 3 не делит 4, а другие числа больше 1 не делят сразу оба. Само слово «несократимая» не означает, что дробь нельзя использовать в вычислениях; её просто нельзя записать меньшими целыми числами при том же значении.
Остановитесь и попробуйте сами: сократите 30/45, затем решите, сокращается ли 11/17. Запишите, на какое число делили верх и низ. Ответы будут сразу после коротких признаков делимости.
Как быстро заметить общий делитель
Начните с признаков, которые легко проверить глазами. Если оба числа чётные, делите на 2. Если суммы цифр обоих чисел делятся на 3, подойдёт 3. Если оба числа оканчиваются на 0 или 5, проверьте 5. Когда оба оканчиваются на 0, часто удобно начать с 10. Эти признаки помогают найти хотя бы один шаг, но после него дробь может сокращаться ещё.
Сверим задания. 30/45 можно разделить на 5 и получить 6/9, затем разделить на 3 и получить 2/3. Одним шагом сработает деление на 15. У числа 11 только два положительных делителя: 1 и 11. Число 17 на 11 не делится, поэтому у 11 и 17 нет общего делителя больше 1. Дробь несократима. Если получили такой ответ и проверили его, оставлять запись без изменений правильно.
Возьмём 45/60. Оба числа делятся на 5, поэтому получится 9/12. Теперь и 9, и 12 делятся на 3: ответ 3/4. Можно было сразу разделить исходные числа на 15, но два коротких шага ничуть не хуже. Проверьте себя: 45 ÷ 60 и 3 ÷ 4 дают одинаковую долю, а у 3 и 4 общего делителя больше 1 уже нет.
Иногда общий делитель не начинается с привычных 2, 3 или 5. Например, 77/91 сокращается на 7: 77 ÷ 7 = 11, 91 ÷ 7 = 13, поэтому ответ 11/13. Не нужно угадывать делитель по внешнему виду чисел. Можно последовательно проверять небольшие простые числа или перейти к НОД, если числа крупные.
Если число в числителе равно 1, а знаменатель больше 1, дробь уже несократима. Для 7/20 тоже нет общего делителя кроме 1. Быстрый признак «одно число нечётное, другое чётное» исключает только деление на 2, но не все общие делители: 9/15 сокращается на 3. Поэтому одной проверки чётности недостаточно.
НОД: один шаг для больших чисел
НОД означает наибольший общий делитель. Если разделить на него числитель и знаменатель, дробь сразу станет несократимой. Для 84/126 наибольший общий делитель равен 42. Делим обе части: 84 ÷ 42 = 2 и 126 ÷ 42 = 3. Получаем 2/3.
Как увидеть 42 без перебора всех чисел? Можно сокращать поэтапно: 84/126 делим на 2 и получаем 42/63; затем на 3 получаем 14/21; наконец на 7 получаем 2/3. Произведение использованных делителей 2 × 3 × 7 = 42. Это и есть НОД исходных чисел. Каждый промежуточный ответ равен исходной дроби.
Другой школьный путь: разложить числа на простые множители. 84 = 2 × 2 × 3 × 7, а 126 = 2 × 3 × 3 × 7. В обеих строках есть 2, 3 и 7, вместе они дают 42. Лишняя двойка у 84 и лишняя тройка у 126 остаются после сокращения: как раз 2/3. Если разложение пока непривычно, можно посмотреть его по шагам в калькуляторе простых множителей.
Для ещё более крупных чисел удобно искать НОД делением с остатком. В нашем примере 126 = 1 × 84 + 42, затем 84 = 2 × 42 + 0. Последний ненулевой остаток равен 42. Запоминать этот алгоритм ради одной дроби не обязательно: калькулятор НОД покажет промежуточные деления для вашей пары. Подставьте 84 и 126, а найденный 42 разделите на оба числа самостоятельно. Так инструмент помогает проверить мысль, а не заменяет её.
Как понять, что ответ верный
У проверки два вопроса: равна ли новая дробь исходной и можно ли её сократить ещё. Для 18/24 и 3/4 первая проверка делается крест-накрест: 18 × 4 = 72 и 24 × 3 = 72. Равные произведения подтверждают равенство дробей, если знаменатели не равны нулю. Вторая проверка: НОД(3, 4) = 1, значит, 3/4 несократима.
Если промежуточный ответ 9/12, первая проверка тоже пройдёт: 18 × 12 = 24 × 9 = 216. Но вторая покажет общий делитель 3. Значит, вы сократили верно, однако не до конца. В учебной задаче это различие важно: «сократить» обычно просят до несократимой записи.
Можно проверить и обратным ходом. Чтобы из 3/4 получить 18/24, умножьте оба числа на 6. Вернулась исходная запись, значит, деление было симметричным. Для 84/126 после деления на 42 получается 2/3, а умножение на 42 возвращает 84/126. Выберите проверку, которая вам проще, но не ограничивайтесь тем, что ответ «похож на правильный».
После сложения, вычитания или умножения дробей ответ тоже часто нужно сократить. Например, 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2. Здесь сокращается результат, когда сложение уже выполнено. Если вы решаете длинное выражение, калькулятор дробей покажет действие и сокращённый ответ; сравните с собственными промежуточными шагами.
Неправильная, смешанная и отрицательная дроби
Если числитель больше знаменателя, правило остаётся тем же. 42/28 делим на 14 и получаем 3/2. По желанию ответ можно записать смешанным числом 1 1/2: одна целая часть и ещё половина. Выделение целой части и сокращение выполняют разные задачи. Дробь 3/2 уже несократима, хотя её числитель больше знаменателя.
У смешанного числа сокращают дробную часть, сохраняя целую. Например, 2 6/8 = 2 3/4. Если сомневаетесь, превратите запись в неправильную дробь: 2 6/8 = 22/8, а после сокращения на 2 получится 11/4 = 2 3/4. При отрицательном смешанном числе минус обычно относится ко всему числу; не переносите его случайно только к целой части.
Минус у обычной дроби можно оставить перед дробью: −18/24 = −3/4. Чтобы сокращать, берите модули 18 и 24, делите оба на 6, затем возвращайте знак. Если отрицательны и числитель, и знаменатель, минусы взаимно уничтожаются: (−18)/(−24) = 3/4. Обычную запись держат с положительным знаменателем, чтобы знак было легче читать.
Ноль в числителе не создаёт трудности, если знаменатель не равен нулю: 0/24 = 0. Для формальной дробной записи можно получить 0/1. А вот 18/0 не является дробью с числовым значением: делить на ноль нельзя. Сокращение не исправит нулевой знаменатель, потому что исходная запись уже не задаёт число.
Три ошибки, которые стоит ловить до ответа
Разделили только верх или только низ. Из 18/24 нельзя получить 3/24, разделив на 6 один числитель. Чтобы доля сохранилась, число частей и количество взятых частей меняются вместе. Запишите деление рядом с обеими частями, пока действие не станет привычным.
Вычли одинаковое число вместо деления. 18/24 не превращается в 12/18, если вычесть по 6. Исходная дробь равна 3/4, а 12/18 = 2/3. Сокращение основано на общих множителях числителя и знаменателя, поэтому действие именно деление.
Зачеркнули похожие цифры. В записи 12/24 может захотеться вычеркнуть две двойки и получить 1/4. Но 12/24 = 1/2. Цифра внутри многозначного числа сама по себе не является общим множителем. Сначала найдите число, на которое целиком делятся 12 и 24; здесь это 12.
Отдельно смотрите на выражения с плюсом. В (2 + 4)/8 нельзя сократить только двойку из первого слагаемого с восьмёркой снизу. Сначала сложите числитель: 6/8, затем разделите оба числа на 2 и получите 3/4. Если очень хочется сократить до сложения, нужно преобразовать весь числитель в произведение, а это отдельный шаг, которого простое зачёркивание не делает.
Три контрольных разбора
24/36. Оба числа делятся на 12. Деление даёт 2/3, а НОД(2, 3) = 1. Если начали с 2, получили 12/18; затем разделите на 6 и придёте к тому же ответу.
35/49. Оба числа делятся на 7, поэтому 35/49 = 5/7. Проверка крест-накрест: 35 × 7 = 49 × 5 = 245. У 5 и 7 нет общего делителя больше 1.
29/40. Общего делителя кроме 1 нет, значит, дробь уже несократима. Это тоже полноценный ответ. Не пытайтесь сделать числа меньше любой ценой: цель сокращения сохранить ту же долю, а не обязательно изменить запись.
В новой задаче начните с одного вопроса: какое число делит верх и низ без остатка? Если не видите сразу наибольшее, сокращайте маленькими шагами. После каждого делите обе части одинаково; в конце проверьте равенство и отсутствие общего делителя. Так вы получаете короткую запись числа и можете объяснить каждый переход, а не только назвать ответ.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.