Почему в школьной формуле трения нет площади контакта

Брусок можно перевернуть: давление изменится, а трение почти не изменится.

Евгений Буянов - автор статьи, основатель проекта, преподаватель МГУ имени М.В. Ломоносова.

Почему в школьной формуле трения нет площади контакта

Так ведут себя сухие жёсткие шероховатые тела при умеренной нагрузке. Дальше вы проверите правило динамометром, увидите две разные площади под одним словом и поймёте, почему шина, ластик и лыжа требуют другой модели.

В статье вы узнаете:

Переверните один брусок, а не весь опыт

Возьмите лёгкий жёсткий прямоугольный брусок, динамометр или багажные весы, кухонные весы и линейку. Выберите две одинаково обработанные грани. Резиновые ножки или лак только на одной стороне превратят их в разные поверхности.

Уберите со стола хрупкие предметы и не тяните брусок к краю. Не берите хрупкий брусок, не наматывайте шнур на руку; держите лицо и свободную руку в стороне от крючка, который может дёрнуться при срыве. Если на узкой грани брусок норовит опрокинуться, опыт в этой ориентации прекратите.

Измерьте длину и ширину обеих граней. Допустим, широкая имеет размеры 10 × 6 см, её площадь равна 60 см². Узкая грань 10 × 3 см занимает 30 см². Массу бруска измерьте на весах и больше не меняйте.

Поставьте брусок широкой гранью на ровный сухой стол. Прикрепите шнур к одной и той же точке и тяните горизонтально, медленно и почти с постоянной скоростью. Запишите характерное ровное показание после начала движения. Затем переверните брусок на узкую грань и повторите проход по тому же участку.

Сделайте по пять измерений на каждой грани и чередуйте ориентации. Так пыль и постепенная полировка дорожки не достанутся только второй серии. Сравнивайте устойчивые показания, не смешивая их с пиками перед срывом. Разницу между режимами объясняет статья о том, почему предмет труднее сдвинуть с места, чем тащить.

В пределах школьной модели ожидаются близкие показания, хотя площади отличаются вдвое. Идеального совпадения не ждите: переворот меняет неровности, направление волокон и распределение нагрузки. Различие внутри обычного разброса согласуется со школьной моделью. Заметная разница требует искать изменившееся условие.

Коэффициенты можно сравнить в калькуляторе коэффициента трения. Для каждой ориентации внесите среднюю силу и ту же массу. Калькулятор делит силу на mg и не использует площадь.

У бруска есть видимая и реальная площади контакта

Номинальная, или видимая, площадь равна площади грани на столе. Для широкой грани в примере это 60 см², для узкой 30 см².

Реальная площадь контакта устроена иначе. Поверхность дерева и столешницы выглядит ровной только с обычного расстояния. Под увеличением на ней видны вершины, впадины и волокна. Два тела касаются друг друга в отдельных микроскопических пятнах, а между ними остаются промежутки.

Представьте два горных хребта, положенных друг на друга. Контуры перекрываются на большой территории, но настоящая встреча происходит только на вершинах. Нарисованный прямоугольник и сумма тесных контактов являются разными площадями.

Боуден и Тейбор ещё в 1939 году исследовали площадь контакта неподвижных и движущихся поверхностей. Они показали, что даже тщательно отполированные тела соприкасаются на доле кажущейся площади, потому что нагрузку несут неровности. [Bowden и Tabor, 1939]

После переворота тот же вес распределяется иначе. На меньшей грани выступы нагружены сильнее и больше деформируются. На широкой кандидатов больше, но нагрузка на каждый ниже. У многих жёстких шероховатых поверхностей итоговая сумма микроконтактов определяется главным образом прижатием и свойствами материала, а не контуром грани.

Меньшая площадь получает большее давление

Сначала эту компенсацию можно увидеть без микроскопа. Брусок массой 1,00 кг давит на горизонтальный стол с силой примерно 9,81 Н. Эта сила не меняется после переворота.

На широкой грани 60 см², или 0,006 м², среднее номинальное давление равно:

p=9,810,006≈1630 Па≈1,63 кПа\displaystyle p=\frac{9{,}81}{0{,}006}\approx1630\ \text{Па}\approx1{,}63\ \text{кПа}

На узкой грани 30 см², или 0,003 м²:

p=9,810,003≈3270 Па≈3,27 кПа\displaystyle p=\frac{9{,}81}{0{,}003}\approx3270\ \text{Па}\approx3{,}27\ \text{кПа}

Площадь уменьшилась вдвое, давление выросло вдвое. Произведение осталось прежним:

pS=N≈9,81 Н\displaystyle pS=N\approx9{,}81\ \text{Н}

Большая грань даёт больше квадратных сантиметров, но каждый из них нагружен слабее. Маленькая грань предлагает меньше квадратных сантиметров, зато каждый нагружен сильнее. Поэтому фраза «больше места для трения» учитывает только половину картины.

Если размеры записаны в разных единицах, конвертер площади переведёт уже найденные квадратные сантиметры в квадратные метры. Полученное давление можно перевести в конвертере единиц давления. Оба инструмента меняют единицы, но не вычисляют площадь или N/S.

Эта арифметика ещё не является полной теорией трения. Равенство pS = N говорит только о суммарной нормальной силе. Нужно дополнительно объяснить, почему сопротивление сдвигу микроконтактов связано с той же нагрузкой.

Микроконтакты возвращают формулу μN

В пластической модели Боудена и Тейбора вершины неровностей локально деформируются, а давление на них достигает примерно твёрдости более мягкого материала. Тогда суммарную реальную площадь контакта оценивают так:

Sреал≈NH\displaystyle S_{\text{реал}}\approx\frac{N}{H}

Здесь H обозначает твёрдость более мягкого материала. Если считать сопротивление главным образом срезом микроконтактов и обозначить среднее сопротивление сдвигу через τ, получаем:

Fтр≈τSреал\displaystyle F_{\text{тр}}\approx\tau S_{\text{реал}}

Подставим первую модель во вторую:

Fтр≈τHN\displaystyle F_{\text{тр}}\approx\frac{\tau}{H}N

В рамках этой модели отношение τ/H играет роль коэффициента трения μ. Так из микроскопической картины получается знакомая школьная запись:

Fтр≈μN\displaystyle F_{\text{тр}}\approx\mu N

Номинальной площади здесь нет, потому что она не равна сумме работающих микроконтактов. При одинаковой нормальной силе узкая грань создаёт большее среднее давление, а широкая распределяет нагрузку по большему контуру. В подходящем режиме эти изменения примерно компенсируются.

Это модель определённого класса контактов. Реальное трение зависит также от упругости, молекулярного сцепления, шероховатости, нагрева, износа и скорости. Короткая история про выступы не объясняет его до последнего атома.

Школьная формула ценна не абсолютной точностью, а хорошим первым прогнозом. Она говорит: если пара сухих поверхностей и режим движения прежние, то удвоение нормальной силы примерно удвоит трение, а простой переворот жёсткого бруска часто изменит его гораздо меньше.

Ориентация всё-таки может изменить результат

Грани различаются. Волокна, лак, царапины и грязь редко совпадают. Вместе с площадью меняется сама пара поверхностей.

Брусок начинает опрокидываться. Высокое тело на узкой стороне легче наклонить. Тогда нагрузка собирается у ребра, а часть тяги вращает брусок. Динамометр измеряет уже не чистое скольжение.

Давление меняет поверхность. Узкая грань может смяться, поцарапать стол или продавить покрытие. Борозда и дополнительная деформация меняют сопротивление.

Контакт стал почти полным или липким. У мягких, очень гладких или малых поверхностей молекулярное сцепление способно дать вклад, связанный с площадью и формой. Мягкая липкая прокладка на гладком стекле уже не похожа на редкие микроконтакты сухого деревянного бруска.

Между телами появилась жидкость. В масле или воде поверхность может разделяться плёнкой. Тогда сопротивление зависит от вязкости, скорости, толщины слоя и площади, по которой жидкость сдвигается. Это уже не школьное сухое трение.

Даже у твёрдых сухих тел независимость от номинальной площади не обещает равенства до тысячной ньютона. Форма, шероховатость и неравномерное давление иногда дают измеримую разницу. Домашний опыт показывает масштаб эффекта, а не заставляет природу подписать договор с учебником.

Резина и шины живут по более сложным правилам

Резина мягкая и вязкоупругая. Последнее слово означает, что она одновременно пружинит и теряет часть энергии при деформации. Когда протектор проходит по шероховатому асфальту, выступы дороги непрерывно вдавливают и отпускают резину. Часть сопротивления рождается внутри материала, ещё часть связана с молекулярным сцеплением в настоящих местах контакта.

Поэтому трение резины зависит от скорости, температуры, нагрузки, шероховатости, состава и формы пятна контакта. В эксперименте с тремя образцами одной резины исследователи сохранили одинаковую номинальную площадь, но изменили форму, то есть длину и ширину пятна относительно общего направления скольжения. Измеренное трение различалось. [Hale, Lewis и Carré, 2020]

У автомобильной шины давление воздуха, нагрузка, каркас, рисунок протектора и боковина задают размер и форму пятна. Давление по дороге распределено неравномерно, поэтому формула «площадь равна нагрузке, делённой на давление в шине» даёт только грубую оценку.

Широкая шина не получает сцепление автоматически только из-за дополнительных квадратных сантиметров. Она меняет форму пятна, нагрев, деформацию протектора и отвод воды. Для машины нужны испытания и рекомендованные размер и давление, а не перенос опыта с бруском.

На мягкой земле площадь важна ещё очевиднее. Лыжа и снегоступ уменьшают давление, меньше проваливаются и меньше толкают перед собой грунт или снег. Сопротивление здесь включает деформацию самой опоры. Та же причина заставляет гусеничную технику распределять вес по длинной ленте.

Граница школьной формулы теперь видна. Она хорошо описывает первый опыт с сухим жёстким бруском, если нагрузка умеренная, грани обработаны похоже, тяга горизонтальна, а скорость близка. Если поверхность липнет, мнётся, течёт, нагревается или разрушается, площадь и форма могут вернуться в расчёт. Физика не передумала, просто задача стала другой.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

ГлавнаяЖурнал расчётовПочему в школьной формуле трения нет площади контакта