Чтобы найти среднее арифметическое, сложите все значения и разделите сумму на их количество. Для чисел 6, 8 и 10 сумма равна 24, значений три, поэтому среднее равно 24 ÷ 3 = **8**. Оно показывает, сколько пришлось бы на каждое значение, если бы общую сумму распределили поровну.
Среднее помогает сравнивать расходы, оценки и измерения, но ответ зависит от того, какие числа попали в список. Разберём сначала обычный расчёт, затем случаи, когда группы имеют разный размер или одно крайнее значение меняет картину.
В статье вы узнаете:
Этот способ работает и для длинного списка, если числа относятся к одной величине и записаны в одинаковых единицах. Дальше вы сможете проверить ответ обратным действием, пересчитать среднее после нового значения и объединить группы так, чтобы маленькая группа не получила тот же вес, что большая.
Представьте пять коробок с 2, 4, 4, 5 и 5 яблоками. Всего в них 20 яблок. Если переложить яблоки так, чтобы в каждой коробке оказалось поровну, получится по 4. Поэтому среднее арифметическое этого ряда равно (2 + 4 + 4 + 5 + 5) ÷ 5 = 4 яблока.
Среднее сохраняет общую сумму: пять коробок по четыре яблока дали бы те же 20 яблок. Результат не обязан встречаться в списке. Для 2 и 3 яблок среднее равно 2,5. Это число описывает набор, а не содержимое реальной коробки.
Среднее за неделю не утверждает, что каждый день был именно таким. Пять поездок по 20, 25, 25, 30 и 50 минут дают среднее 30 минут. Но оно не обещает, что следующая поездка уложится в полчаса.
Среднее измеряется в тех же единицах, что и исходные числа. Если вы усреднили пять расстояний в километрах, ответ тоже дан в километрах. Перед сложением переведите разные записи к одной единице: 1 м и 50 см нужно читать как 1 м и 0,5 м или как 100 см и 50 см. Число (1 + 50) ÷ 2 = 25,5 без такого перевода не имеет понятного смысла.
Пусть за четыре дня вы потратили на обеды 420, 580, 600 и 400 ₽. Сначала сложите суммы: 420 + 580 + 600 + 400 = 2000 ₽. Затем посчитайте дни: их четыре. Деление 2000 ÷ 4 даёт 500 ₽ в день. Если в один из этих дней вы не покупали обед, расход за него был бы равен нулю. Такой день тоже участвует в среднем, если вы считаете расходы за все четыре дня.
Формулу можно записать одной строкой:
Среднее арифметическое = сумма всех значений ÷ количество значений.
Если обозначить значения как x₁, x₂, …, xₙ, а их количество как n, получится: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n. Черта над x читается как «среднее икс». Буквы удобны для общего правила; в конкретной покупке или измерении достаточно сумм и количества.
Проверяйте деление обратным действием. Умножьте ответ на количество: 500 ₽ × 4 = 2000 ₽, исходная сумма вернулась. Ещё один контроль: среднее чисел 400, 420, 580 и 600 обязано лежать между минимумом 400 и максимумом 600. Если вышло 650 ₽, арифметика или исходные данные ошибочны. Границы не доказывают, что ответ точен, но быстро выявляют невозможный результат.
Теперь добавим пятый день с расходом 1000 ₽. К прежним 2000 ₽ прибавляется 1000 ₽, дней становится пять. Новое среднее равно 3000 ÷ 5 = 600 ₽. Не нужно заново переписывать четыре старые суммы, если известны прежние сумма и количество. Именно эти два числа позволяют без потери точности продолжить расчёт.
Изменение можно проверить и без полной суммы. Новые 1000 ₽ выше прежнего среднего на 500 ₽. Избыток распределяется на пять дней: 500 ÷ 5 = 100 ₽. Среднее выросло с 500 до 600 ₽. Значение выше прежнего среднего поднимает его, ниже прежнего опускает, равное оставляет прежним.
Для длинного ряда удобно вставить числа в калькулятор среднего, медианы и моды. Он покажет сумму и количество вместе со средним, а также минимум, максимум и другие характеристики. Проверьте список перед вводом: лишний ноль, пропущенное значение или сумма в другой валюте не становятся правильными оттого, что калькулятор уверенно вывел число.
Знаменатель выбирают по смыслу задачи, а не по числу заполненных клеток в таблице. Если в течение семи дней измеряли температуру, но записали её только в шесть, среднее шести наблюдений делят на шесть. Пропущенный день не равен нулю. Чтобы утверждать что-то о всей неделе, сначала выясните, почему измерения нет и можно ли его восстановить. Подстановка нуля вместо пропуска изменит сумму и создаст несуществующее наблюдение.
Настоящий ноль, наоборот, включают. Если вы записываете число заказов по дням и в воскресенье не было ни одного, воскресенье с 0 заказов входит в недельное среднее. Без него получилось бы среднее по дням с продажами, то есть ответ на другой вопрос. Назовите период и правило включения до расчёта: «за семь календарных дней» и «за шесть рабочих дней» могут дать разные числа без единой арифметической ошибки.
У пустого списка среднего нет: делить на ноль нельзя. Среднее одного числа равно ему самому. Дробные и отрицательные значения допустимы: температуры −2, 0 и 5 °C дают среднее 1 °C. Порядок чисел на ответ не влияет.
Смешивать несопоставимые величины нельзя. Температура 20 °C и цена 100 ₽ не превращаются в осмысленное среднее 60. Даже если все числа записаны в рублях, сначала определите, какую группу хотите описать: цена кофе и цена полного ужина отвечают на разные вопросы.
Не всякий показатель разрешает обычное усреднение даже при одинаковой единице. Если машина проехала одинаковые расстояния с разными скоростями, простой полусуммы скоростей недостаточно для средней скорости всей поездки: время на медленном участке больше. Подробный пример есть в статье почему средняя скорость не всегда равна среднему двух скоростей. Здесь главное правило такое: прежде чем складывать числа, назовите общую сумму, которую среднее должно сохранить. Для наших обедов это все потраченные рубли; для коробок все яблоки.
В одном кружке четыре ученика прочитали за месяц в среднем по 12 страниц в день на человека. В другом кружке 16 учеников прочитали в среднем по 7 страниц в день на человека. Какой средний результат у всех двадцати учеников? Полусумма (12 + 7) ÷ 2 = 9,5 делает кружки равными участниками, хотя в первом всего четыре человека, а во втором шестнадцать.
Восстановим общую сумму по группам. Четыре ученика первого кружка вместе дали 4 × 12 = 48 страниц в расчёте на день. Шестнадцать учеников второго дали 16 × 7 = 112. По всем ученикам получается 48 + 112 = 160 страниц, а участников 4 + 16 = 20. Общее среднее равно 160 ÷ 20 = 8 страниц в день на ученика.
Проверка смысла: результат 8 ближе к семи, чем к двенадцати, потому что большинство учеников находится во втором кружке.
Правило для двух групп выглядит так: (среднее первой × размер первой + среднее второй × размер второй) ÷ общее количество людей. Размер группы здесь служит весом. Тот же приём работает для среднего чека филиалов, среднего времени разных смен и среднего балла классов, если вы знаете число наблюдений в каждой группе и сравниваете одно и то же.
Если размеры групп равны, можно усреднить их средние обычным способом. Если средние различаются, а размеры групп неизвестны, точное общее значение восстановить нельзя. Попросите размеры групп или исходные суммы.
Иногда вес задают заранее: предметы могут занимать разное количество учебных часов, а работе могут назначить коэффициент 3 вместо 1. Тогда складывают произведения «значение × вес» и делят на сумму весов. В калькуляторе взвешенного среднего балла вес вводится в поле «Часы». Используйте его, только если именно часы определяют вклад оценки.
Возьмём пять условных зарплат в тысячах рублей: 40, 42, 45, 48 и 500. Сумма равна 675 тысячам, среднее арифметическое составляет 675 ÷ 5 = 135 тысяч рублей. Формула выполнена без ошибки. Тем не менее четыре человека из пяти получают меньше 50 тысяч. Фраза «обычная зарплата здесь 135 тысяч» не описывает ни одного из этих четырёх сотрудников.
Посмотрите на упорядоченный список. Посередине стоит 45 тысяч. Это медиана, центральное значение ряда из пяти чисел. В нашем примере среднее 135 тысяч сообщает, сколько пришлось бы каждому при равном распределении всего фонда оплаты, а медиана 45 тысяч показывает середину списка зарплат. Для бюджета всей группы первое число полезно; для ответа на вопрос «сколько получает человек посередине» нужно второе.
Зарплата 500 тысяч в этом наборе резко отличается от остальных. Такое наблюдение называют выбросом. Его влияние можно увидеть численно: если пятая зарплата вместо 500 была бы 50 тысяч, сумма составила бы 225 тысяч, а среднее 45 тысяч. Замена одного числа увеличила сумму на 450 тысяч и среднее на 450 ÷ 5 = 90 тысяч. Медиана при этом осталась бы 45 тысяч: порядок средних трёх значений не поменялся.
Выброс не равен ошибке. Возможно, запись «500» появилась из-за лишнего нуля; возможно, это реальная выплата человеку с другой ролью. Сначала проверьте источник числа, период и состав группы. Если значение ошибочно, исправьте запись. Если оно реально, не удаляйте его ради удобного среднего: показывайте вместе со средним медиану, диапазон или исходный ряд. Причины и проверку таких значений отдельно разбирает статья почему выброс нельзя просто удалить.
При чётном количестве значений медиану получают из двух центральных чисел после сортировки. Для 2, 4, 8 и 20 это (4 + 8) ÷ 2 = 6, а среднее всего ряда равно 8,5. Подробный разбор медианы и моды есть в калькуляторе мер центра.
Среднее арифметическое выбирайте, когда нужно распределить общую сумму поровну: расходы в расчёте на день, среднее время одной поездки, число задач на занятие. Оно использует каждое значение. Поэтому рост одного значения при неизменном количестве обязательно поднимет среднее, даже если остальные результаты не сдвинулись.
Медиану добавляйте, когда спрашиваете о середине списка и подозреваете, что редкие крайние значения искажают впечатление от среднего. Для зарплат из нашего примера полезно назвать оба числа, 135 и 45 тысяч, с пояснением, что именно они измеряют. Одного слова «средняя» без списка и вопроса бывает недостаточно. Мода, самое частое значение, нужна для другой задачи: например, узнать популярный размер обуви. Разворачивать её расчёт в статье об арифметическом среднем нет необходимости.
Если перед вами только средние нескольких групп, найдите размеры этих групп и восстановите общий итог. Простое усреднение групповых чисел допускается лишь при одинаковых размерах или тогда, когда вы сознательно хотите дать каждой группе равный вес. Если значения представляют разные часы, кредиты или иные заранее заданные доли, используйте взвешенное среднее с понятными весами.
Для ручной проверки сохраните три числа: сумму, количество и найденное среднее. Умножение среднего на количество должно вернуть сумму, а само среднее обязано находиться между минимумом и максимумом исходного ряда. Затем задайте самый полезный вопрос: что вы хотите описать, общий расход в расчёте на одного или человека посередине списка? Ответ определит, достаточно ли арифметического среднего или рядом нужна медиана.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.