Как найти среднее арифметическое

Среднее арифметическое получают так: складывают все числа и делят сумму на их количество. Оно удобно для ровных данных, но одно крайнее значение может сделать ответ обманчивым.

Евгений Буянов - автор статьи, основатель проекта, преподаватель МГУ имени М.В. Ломоносова.

Но слово «среднее» не всегда означает среднее арифметическое. Для зарплат бывает полезнее медиана, для самого частого размера обуви - мода, а для предметов с разным числом учебных часов - взвешенное среднее.

В статье вы узнаете:

Что именно показывает среднее арифметическое
Как посчитать его без ошибки
Почему один выброс меняет результат
Чем медиана и мода отличаются от среднего
Когда нужно взвешенное среднее
Как выбрать подходящую цифру

Среднее арифметическое - это честное деление поровну

Представьте пять коробок с 2, 4, 4, 5 и 5 яблоками. Всего в них 20 яблок. Если разложить все яблоки поровну, в каждой коробке окажется по 4.

\displaystyle \frac{2+4+4+5+5}{5}=4

Число 4 и есть среднее арифметическое. Оно не обязано встречаться в исходном списке. Например, среднее для чисел 2 и 3 равно 2,5, хотя такого числа в списке нет.

Полезный смысл среднего прост: оно отвечает на вопрос «сколько пришлось бы на каждый объект, если бы общую сумму разделили поровну».

Среднее описывает всю группу, а не каждого её участника. Средняя температура за неделю не означает, что такая температура была каждый день. Средний рост класса не означает, что большинство учеников именно такого роста.

Сложите числа и разделите на их количество

Обозначим числа как x₁, x₂ и так далее. Тогда формула среднего выглядит так:

\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}

Черта над x читается как «среднее икс», а n - это количество чисел. Делить нужно именно на количество значений, а не на самое большое число и не на число промежутков между ними.

Возьмём четыре результата: 7, 8, 9 и 10. Сумма равна 34, количество результатов - 4.

\displaystyle \frac{7+8+9+10}{4}=8{,}5

Для длинного списка удобнее открыть калькулятор среднего, медианы и моды: он сам посчитает сумму, количество значений, размах и три варианта центра. Но сначала проверьте, что числа относятся к одной задаче. Нельзя осмысленно усреднить температуру, цену и рост только потому, что все они записаны числами.

Единица измерения у среднего остаётся той же. Среднее пяти расстояний в километрах тоже выражается в километрах.

Одна очень большая цифра тянет среднее к себе

Рассмотрим пять условных зарплат в тысячах рублей: 40, 42, 45, 48 и 500. Их сумма равна 675, поэтому средняя зарплата получается 135 тысяч.

\displaystyle \frac{40+42+45+48+500}{5}=135

Четыре человека из пяти получают меньше 50 тысяч, но среднее равно 135 тысяч. Расчёт правильный. Обманчивым может быть вывод «обычный человек здесь получает 135 тысяч».

Число 500 сильно отличается от остальных. Такое значение называют выбросом. Выброс не обязательно является ошибкой: директор действительно может получать намного больше сотрудников. Но среднее чувствительно к таким значениям и сдвигается в их сторону.

Удалять выброс только потому, что он мешает красивому результату, нельзя. Сначала нужно понять его причину: необычное число может быть ошибкой записи, другой группой или редким реальным событием. Ошибку ввода исправляют, реальное редкое значение оставляют и дополняют другой мерой.

Медиана ищет середину, а мода - повторение

Медиана - центральное значение в списке, который поставили по порядку. В нашем ряду 40, 42, 45, 48, 500 посередине стоит 45. Половина значений не больше 45, другая половина не меньше 45.

Если значений чётное количество, берут среднее двух центральных. Для 2, 4, 8 и 20 медиана равна (4 + 8) ÷ 2 = 6.

Медиана почти не сдвигается из-за одного огромного числа. Поэтому ею часто дополняют среднюю зарплату, цену квартиры или время ожидания. Если нужно увидеть не только середину, но и центральную половину данных, используйте калькулятор квартилей и IQR.

Мода - значение, которое встречается чаще других. В списке размеров обуви 39, 40, 40, 40, 41, 42 модой будет 40. Моды может не быть, а иногда их несколько.

Эти три показателя отвечают на разные вопросы:

среднее - как разделилась бы общая сумма поровну;
медиана - что стоит в середине упорядоченного ряда;
мода - что встречается чаще всего.

Вес показывает, сколько раз значение участвует в результате

Иногда числа важны не одинаково. Контрольная работа может иметь вес 1, а экзамен - вес 3. Если за контрольную получено 4, а за экзамен 5, простое среднее равно 4,5. Но оно делает две работы равными.

Во взвешенном среднем каждое значение умножают на его вес, произведения складывают и делят на сумму весов:

\displaystyle \bar{x}_{w}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\ldots+x_nw_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}

\displaystyle \frac{4\times1+5\times3}{1+3}=4{,}75

То же происходит, когда итоговый балл учитывает число учебных часов. Для такого случая есть калькулятор взвешенного среднего балла. Вес не делает расчёт устойчивым к выбросам. Он решает другую задачу: заранее задаёт, какие значения сильнее влияют на итог.

Если все веса одинаковы, взвешенное среднее превращается в обычное арифметическое.

Когда размеры групп различаются между сравниваемыми вариантами, веса способны даже развернуть итоговый вывод. Такой случай подробно показывает парадокс Симпсона.

Сначала задайте вопрос, потом выбирайте среднее

Используйте среднее арифметическое, когда значения сопоставимы, каждое участвует на равных и в ряду нет крайних чисел, способных скрыть картину. Так удобно сравнивать несколько контрольных, повторных измерений или расходов одного типа.

Добавьте медиану, когда распределение неровное: есть очень дорогие квартиры, очень высокие доходы или редкие долгие задержки. Моду выбирайте, когда важен самый частый вариант: размер, ответ, категория. Даже одинаковые среднее и стандартное отклонение могут скрывать разные наборы данных, поэтому перед решением полезно увидеть сам ряд или график.

Взвешенное среднее нужно только тогда, когда веса имеют понятный смысл: часы, количество товаров, доли или заранее заданная важность. Если веса выбраны «на глаз», точная формула не сделает вывод надёжным.

Для школьных оценок полезно сначала посчитать средний балл аттестата за 9 класс или за 11 класс, а затем уточнить правила конкретного конкурса: учебное заведение может учитывать предметы и коэффициенты по-своему. Отдельно проверьте, нужно ли округлять средний балл и до какого разряда.

Главный вывод. Среднее арифметическое - это сумма, разделённая на количество. Оно хорошо показывает общий уровень ровного ряда, но при выбросах его нужно читать вместе с медианой, а при разной важности значений - заменять взвешенным средним.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.