Калькулятор эффекта Доплера

Почему движущийся источник слышен иначе

Слушатель на платформе смотрит на приближающийся поезд

Тон 1000 Гц от источника, приближающегося со скоростью 20 м/с, неподвижный слушатель принимает как 1061,92 Гц при скорости звука 343 м/с. Источник продолжает создавать тот же тон: меняется частота прихода звуковых колебаний к слушателю. Такой сдвиг называют эффектом Доплера, по имени физика Кристиана Доплера.

Калькулятор учитывает движение обоих участников вдоль одной прямой в однородной неподвижной среде. Частота источника и скорость звука положительны. Скорости источника и наблюдателя могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, но по модулю должны оставаться меньше скорости звука. Скорость звука задавайте для нужной среды: 343 м/с является ориентиром для воздуха около 20 °C, а не значением для любой температуры и любого материала.

Для принятых в форме знаков наблюдаемая частота вычисляется так:

f_{\text{набл}}=f\frac{c+v_{\text{набл}}}{c-v_{\text{ист}}}

Здесь f обозначает частоту источника, c скорость звука в среде, v_ист скорость источника, v_набл скорость наблюдателя. Частоты измеряются в герцах, скорости в метрах в секунду. Все скорости движения отсчитываются относительно среды, в которой распространяется звук. Это существенно: заменить два поля одним числом скорости сближения в общей задаче нельзя.

Как выбрать знаки скоростей

Положительный знак у источника означает движение к наблюдателю. Положительный знак у наблюдателя означает движение к источнику. Отрицательные значения в обоих полях означают движение от другого участника. Направление «вправо» само по себе знака не определяет: важно, с какой стороны находится второй участник. Поскольку положительное движение источника уменьшает знаменатель, а наблюдателя увеличивает числитель, оба действия повышают частоту.

Представьте неподвижного слушателя перед движущимся источником. Между двумя излучёнными гребнями источник успевает продвинуться вперёд, поэтому расстояние между гребнями перед ним уменьшается. Движущийся к неподвижному источнику слушатель действует иначе: гребни не становятся ближе друг к другу в среде, но он встречает их чаще. Эти две причины похожи по слышимому результату, однако стоят в разных частях формулы.

Если движение задано в километрах в час, сначала используйте перевод км/ч в м/с. Например, 72 км/ч соответствуют 20 м/с. Подстановка 72 в поле скорости без перевода преувеличит движение в 3,6 раза. Знак при переводе сохраняется: удаление со скоростью 72 км/ч записывается как отрицательные 20 м/с.

Что можно проверить на числах

Предсказать тон приближающегося источника. Пусть источник создаёт 1000 Гц и движется к неподвижному слушателю со скоростью 20 м/с в воздухе с c = 343 м/с. Введите скорость источника 20, наблюдателя 0. Ответ 1061,92 Гц примерно на 61,92 Гц выше исходного тона. Настройка самого источника не менялась: повышенная частота существует в результате его движения и воспринимается в точке приёма.

Проверить скорость по пониженному тону. Известно, что источник создаёт 1000 Гц, а неподвижный наблюдатель принимает 900 Гц при c = 343 м/с. Для такого случая v_ист = c(1 − f/f_набл) даёт −38,1111 м/с. Подстановка этого значения в форму возвращает примерно 900 Гц. Минус здесь указывает на удаление. Такой обратный вывод возможен потому, что исходная частота и неподвижность наблюдателя известны, а не определены на слух.

Отделить движение слушателя от движения источника. Оставьте источник 1000 Гц неподвижным, а наблюдателя направьте к нему со скоростью 20 м/с при c = 343 м/с. Получится 1058,31 Гц. Это немного меньше 1061,92 Гц при движении одного источника с той же скоростью. При небольших скоростях различие легко пропустить, но оно показывает, почему перестановка двух скоростей не является точной симметрией этой модели.

Сравнить способы получить одинаковое сближение. При 1000 Гц и c = 343 м/с источник движется к слушателю со скоростью 15 м/с, слушатель к источнику со скоростью 5 м/с. Расстояние сокращается на 20 м за секунду, а частота равна 1060,98 Гц. Если всю скорость 20 м/с придать одному источнику, ответ будет 1061,92 Гц. Одинаковая скорость сокращения расстояния не устраняет различие движений относительно среды.

Убедиться в отсутствии сдвига при совместном движении. Источник и слушатель движутся вправо с одинаковой скоростью 20 м/с, причём слушатель находится впереди. Источник направлен к нему, поэтому его поле равно 20. Слушатель движется от источника, поэтому его поле равно −20. При f = 1000 Гц и c = 343 м/с числитель и знаменатель совпадают, ответ точно 1000 Гц. Два плюса описывали бы другую ситуацию, встречное движение.

Сравнить влияние скорости распространения. Источник 600 Гц приближается к неподвижному наблюдателю со скоростью 30 м/с. При заданной c = 300 м/с ответ 666,667 Гц, при c = 350 м/с только 656,25 Гц. Увеличение скорости распространения уменьшило относительный сдвиг. Эти два значения c выбраны для сравнения, они не являются универсальными характеристиками конкретных сред. В своей задаче используйте скорость звука из её условия.

Как понимать результат и границы модели

При удалении только источника со скоростью 20 м/с тот же исходный тон 1000 Гц станет 944,904 Гц при c = 343 м/с. Понижение составляет около 55,10 Гц, тогда как приближение повышало тон на 61,92 Гц. Эти изменения не равны по модулю: знак скорости входит в знаменатель, поэтому нельзя рассчитать одно и просто вычесть такую же величину для другого направления.

Скорость движения сравнивается со скоростью звука, а не с частотой. Для удобного сравнения можно выразить её в числах Маха, сохраняя ту же скорость звука. В этой форме оба участника должны двигаться дозвуково. При достижении границы нельзя трактовать деление на ноль как физическую бесконечную высоту тона: меняются условия распространения, и эта модель больше не даёт допустимого ответа.

Частота, высота воспринимаемого тона и громкость связаны с разными свойствами сигнала. Частота сообщает, сколько колебаний принимается за секунду. По ней нельзя определить уровень звука, мощность источника или расстояние до него. Также наблюдаемую частоту движущегося приёмника нельзя бездумно подставлять в λ = c/f: пространственная длина волны в среде определяется движением источника. Подробнее связь неподвижной частоты и длины раскрывает калькулятор длины звуковой волны.

Вопросы о движении и приёме звука

Чтобы сравнивать расчёт с записью или наблюдением, важно знать, что движется, относительно чего измерена скорость и какой путь проходит волна до приёмника.

Нужно ли прибавлять ветер к скорости звука?

Не в этой форме напрямую. Скорость звука c задаётся относительно воздуха, а скорости участников также нужны относительно воздуха. Для равномерного ветра сначала переведите движения из земной системы отсчёта в систему воздуха и затем выберите знаки вдоль распространения. Смена только c при оставленных земных скоростях смешивает две системы отсчёта.

Почему нельзя использовать эту формулу для света?

Она выведена для звука в материальной среде и движений относительно неё. У света в вакууме нет такой системы отсчёта среды; для его доплеровского сдвига нужна релятивистская зависимость. Замена 343 на скорость света не превращает этот расчёт в инструмент для астрономических наблюдений или радиолокации.

Подходит ли результат для отражённого сигнала?

Здесь звук проходит от источника прямо к наблюдателю. Отражение от движущейся цели добавляет ещё один этап взаимодействия волны с движением. Поэтому результат нельзя автоматически считать сдвигом эха или показанием доплеровского радара. Для отражённого сигнала нужны отдельная геометрия и модель полного пути волны.

Какая скорость нужна при ускорении источника?

Форма предполагает постоянные скорости. Слышимая сейчас волна была излучена раньше, а источник за время распространения мог изменить скорость и положение. Подстановка его текущей скорости не описывает автоматически частоту ранее испущенной волны. При ускорении требуется учитывать время излучения и время прихода каждого участка сигнала.

Можно ли узнать скорость по одному неизвестному звуку?

Без исходной частоты обычно нельзя. Тон 1000 Гц может быть неподвижным источником 1000 Гц либо сдвинутым тоном другой исходной частоты. Если движутся оба участника, одному измерению соответствует множество пар скоростей. Обратный расчёт требует дополнительных известных условий, например постоянной частоты источника и неподвижности слушателя.

Можно ли подставить в форму частоту музыкального инструмента?

Да, для отдельного устойчивого тона при выполнении условий движения. Все гармоники при одних и тех же скоростях получают одинаковый множитель частоты: исходные 500 и 1000 Гц сохранят отношение 1:2. Однако этот расчёт не воспроизводит тембр инструмента, амплитуды гармоник и воспринимаемую громкость.

Что происходит при проезде сбоку от слушателя?

Направление на источник меняется по мере проезда, поэтому полный модуль скорости нельзя считать постоянной скоростью вдоль луча. Четыре поля описывают движение вдоль одной прямой, а не весь звуковой рисунок такого проезда. Для точного изменения частоты со временем нужны траектория, взаимное расположение и задержка распространения.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.