Почему ненулевое число в степени 0 равно 1

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1 по закону деления степеней.

Евгений Буянов - автор статьи, основатель проекта, преподаватель МГУ имени М.В. Ломоносова.

Почему ненулевое число в степени 0 равно 1

Дальше вы продолжите ряд степеней, выведете правило через деление и проверите его на целом числе и дроби. В конце станет понятно, почему запись 00 требует отдельного условия.

В статье вы узнаете:

После 51 следующим идёт 50 = 1

Олегу нужно продолжить ряд степеней пяти. Показатель в каждой следующей записи уменьшается на единицу:

53=125;52=25;51=5;50=?\displaystyle 5^3=125;\quad 5^2=25;\quad 5^1=5;\quad 5^0=?

Одновременно результат каждый раз делится на 5. Из 125 получается 25, затем 5. Следующий такой же шаг даёт 5 ÷ 5 = 1. Значит, в последней ячейке стоит 50 = 1.

Если написать там ноль, закономерность сломается: переход от 5 к 0 уже не является делением на 5. Нулевой показатель не просит умножить основание на ноль. В записи 53 показатель означает три множителя 5, а в записи 51 остаётся один множитель.

Числовой ряд хорошо показывает ответ, но сам по себе ещё не доказывает правило для каждого числа. Для этого достаточно посмотреть на одно знакомое деление.

Один частный даёт сразу два равных ответа

Возьмём 52 ÷ 52. Обычная арифметика даёт 25 ÷ 25 = 1. Закон деления степеней с одинаковым основанием предлагает вычесть показатели:

52÷52=52−2=50\displaystyle 5^2\div5^2=5^{2-2}=5^0

Слева всё тот же частный 25 ÷ 25, поэтому 50 равно 1. Теперь заменим пятёрку буквой a, а двойку любым положительным целым показателем m:

am÷am=am−m=a0=1\displaystyle a^m\div a^m=a^{m-m}=a^0=1

Здесь есть важное условие: a не равно нулю. Тогда am тоже не равно нулю, и число можно разделить само на себя. Если подставить a = 0, слева появится деление нуля на ноль. Оно не определено, поэтому этот вывод остановится раньше ответа.

Именно так правило вводит учебник OpenStax: частное одинаковых ненулевых степеней равно единице, а вычитание одинаковых показателей даёт ноль. [OpenStax, College Algebra]

Умножение без множителей сохраняет стартовую единицу

Есть ещё один взгляд на тот же ответ. Представим простой счётчик, который должен перемножить числа 2, 3 и 4. Он начинает с 1 и последовательно получает 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Стартовать с нуля нельзя: тогда любое произведение навсегда осталось бы нулём.

Если список пуст, счётчик не делает ни одного умножения. Начальная единица так и остаётся ответом. Такой случай называют пустым произведением, то есть произведением без единого множителя.

При положительном показателе степень тоже задаёт список множителей: a3 содержит три копии a, a1 одну. Если продолжить это определение до нулевого показателя, копий не останется, а пустое произведение даст 1. Для ненулевого основания этот взгляд совпадает с уже доказанным законом деления.

Та же единица появляется в объяснении нулевого факториала. Там пустым оказывается список чисел, которые нужно перемножить. Это родственная идея, но другой вопрос: 0! обозначает факториал, а a0 степень.

Основание может быть целым, отрицательным или дробным

Правило зависит не от размера и не от знака числа. Оно требует только ненулевого основания:

  • 120 = 1;
  • (−7)0 = 1;
  • (2/3)0 = 1;
  • (6 − 5)0 = 1, потому что основание сначала упрощается до 1.

На научном калькуляторе можно ввести 17 ^ 0 и получить 1. В калькуляторе степени дроби задайте 0 целых, числитель 2, знаменатель 3 и степень 0. Результат снова равен 1. Эти проверки показывают работу правила на конкретных числах, но экран калькулятора не заменяет условие основание ≠ 0.

Калькулятор степени по модулю отвечает на немного другой вопрос. Для основания 7, показателя 0 и модуля 13 он показывает остаток 1. При модуле 1 ответ будет 0, потому что обычная единица делится на 1 без остатка. Нулевая степень не изменилась, изменился итоговый вопрос: калькулятор показывает остаток, а не саму степень.

К 00 правило автоматически не подставляется

У равенства a0 = 1 было условие a ≠ 0. Поэтому заменить букву на ноль и объявить доказанным 00 = 1 нельзя.

Здесь встречаются границы двух знакомых правил. Для положительного показателя 01, 02 и 03 равны нулю. Для нулевого показателя любое ненулевое основание даёт единицу. Запись 00 не входит ни в первое, ни во второе условие.

В школьной задаче не подставляйте ответ автоматически. Если учебник или условие не ввели отдельное соглашение, 00 оставляют неопределённым. В комбинаторике и некоторых программах его могут специально принять равным 1, чтобы формулы с пустыми случаями работали без отдельной оговорки. Ответ программы показывает выбранное разработчиками правило, а не отменяет остальные контексты.

В математическом анализе фраза «неопределённость вида 00» относится к пределам. Она означает, что основание некоторого выражения стремится к нулю и показатель тоже стремится к нулю, но этих двух сведений недостаточно для ответа. Это не вычисление двух буквальных нулей на калькуляторе. [OpenStax, Calculus Volume 1]

Сначала найдите основание, затем смотрите на показатель

Для нового примера достаточно трёх шагов:

  1. Найдите всё основание степени, включая скобки.
  2. Проверьте, не равно ли оно нулю.
  3. Если основание ненулевое, а показатель равен 0, ответ равен 1.

Например, в выражении (14 − 8)0 основание равно 6. Оно ненулевое, поэтому результат равен 1. В выражении (14 − 14)0 основание равно нулю. Получилась запись 00, и общее правило здесь больше не отвечает: нужно смотреть, какое соглашение задано в задаче.

Увидев показатель 0, не умножайте число на ноль. Сначала проверьте основание. Оно не равно нулю? Ответ 1. Оно тоже равно нулю? Тогда у задачи должно быть отдельное правило.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

ГлавнаяЖурнал расчётовПочему ненулевое число в степени 0 равно 1