Почему монета делает два оборота вокруг такой же монеты
Без скольжения монета делает два оборота за один обход.
Края у двух одинаковых монет одной длины. Кажется, что одной хватит ровно одного поворота, чтобы обкатить другую. Но бумажная стрелка на монете покажет иной результат. Разберём опыт так, чтобы можно было увидеть оба поворота и понять, откуда взялся лишний.
В статье вы узнаете:
Проверьте на двух монетах
Положите две одинаковые круглые монеты плашмя на лист бумаги, чтобы они касались краями. Одну оставьте на месте и придерживайте пальцем. Вторую будете катить вокруг неё снаружи. Монеты не нужно ставить на ребро.
На движущуюся монету приклейте маленькую бумажную стрелку. Она должна помещаться на плоской стороне и не заходить на край. Рядом на листе нарисуйте ещё одну стрелку в том же направлении. Эта стрелка останется неподвижной и поможет не потерять ориентир.
Медленно обкатывайте неподвижную монету второй. Их края должны постоянно соприкасаться. Не тащите движущуюся монету боком и не подкручивайте отдельно: край должен перекатываться по краю, а не скользить вдоль него.
Следите за стрелкой на монете относительно стрелки на бумаге. Через четверть пути она будет смотреть в противоположную сторону. Когда монета окажется с другой стороны неподвижной, её стрелка снова укажет в исходном направлении. Это уже один полный поворот, хотя пройдена только половина обхода.
На второй половине пути всё повторится. При возвращении на старт движущаяся монета совершит два полных поворота. Здесь «обход» означает путь вокруг соседней монеты, а «поворот» означает вращение самой монеты относительно стола.
Одного взгляда в конце недостаточно. И после одного, и после двух поворотов стрелка смотрела бы туда же, куда в начале. Поэтому важна остановка на противоположной стороне или непрерывное наблюдение за стрелкой.
Центр монеты проходит больший круг
Мысленно отметьте центры обеих монет. Расстояние между ними равно двум радиусам: от центра неподвижной монеты до места касания один радиус, от касания до центра движущейся ещё один.
Допустим, радиус каждой монеты равен 10 мм. Тогда центр движущейся монеты находится в 20 мм от неподвижного центра. Во время обхода он описывает круг радиусом 20 мм, а не 10 мм.
Теперь посмотрите на участок края, который прямо сейчас касается неподвижной монеты. Без проскальзывания он на одно мгновение остаётся на месте относительно стола. Затем монета покатится дальше и касаться будет уже другой участок.
Как край может стоять на месте, если центр движется? Движение центра уносит всю монету вперёд, а вращение уводит касающийся участок края назад. В месте касания эти движения должны быть одинаково быстрыми и погашать друг друга. Если одно окажется быстрее другого, край начнёт скользить по соседней монете.
За полный поворот край проходит вокруг своего центра длину одной окружности. Движение центра должно компенсировать такое же расстояние, поэтому центр за это время проходит ту же длину. На круглом пути меняется направление движения, но условие в каждой новой точке касания остаётся прежним. Именно поэтому длину пути центра можно разделить на длину окружности монеты и получить число её поворотов.
Сравните две длины в калькуляторе длины окружности. Выберите расчёт по радиусу и миллиметры. Для радиуса 10 мм получится 62,80 мм, а для 20 мм получится 125,60 мм. Инструмент использует приближённое π = 3,14, но на отношение длин это здесь не влияет:
125,60 ÷ 62,80 = 2.
Путь центра вдвое длиннее окружности самой монеты. Поэтому на полный обход приходятся два её поворота. Калькулятор не моделирует движение: он помогает проверить размеры двух разных кругов, которые легко перепутать.
Такое объяснение через путь центра и отсутствие проскальзывания разобрано и в работе о парадоксе вращения монеты. Для нашего опыта достаточно увидеть расстояние между центрами: именно оно задаёт радиус пути.
Почему ответ «один оборот» кажется убедительным
Ошибочный расчёт начинается с верного наблюдения: длины краёв одинаковых монет равны. Если поделить одну на другую, получится единица. Но при таком делении мы измерили не тот путь.
Один поворот получился бы, если бы монета прокатилась вдоль прямого отрезка длиной 62,80 мм. Её центр прошёл бы те же 62,80 мм. Так что знакомое правило для колеса на прямой дороге не подводит.
В нашем опыте край дороги загнут в круг. Центр движущейся монеты идёт снаружи этого круга, отступив от него ещё на один радиус. Поэтому его путь длиннее: 125,60 мм. Мысленно распрямить край неподвижной монеты можно, но это будет уже другой опыт, с другим путём центра. Ответ «один» верен для прямого отрезка, а не для обхода такой же монеты.
Что будет с монетами разного размера
Правило «два» относится к одинаковым радиусам. Если неподвижный круг больше, движущейся монете придётся пройти более длинный путь.
Возьмём неподвижный круг радиусом 30 мм и движущийся радиусом 10 мм. Расстояние между центрами составит 40 мм. Окружность радиусом 40 мм в четыре раза длиннее окружности радиусом 10 мм. Значит, за один обход маленькая монета повернётся четыре раза, а не три.
Здесь удобно записать общее правило словами:
Число поворотов = сумма радиусов ÷ радиус движущейся монеты.
Результат не обязан быть целым. Если неподвижный радиус равен 15 мм, а подвижный 10 мм, получится 25 ÷ 10 = 2,5 поворота: два полных и ещё половина. Центр монеты вернётся на старт, но стрелка будет смотреть в противоположную сторону.
Это ещё одна причина различать место монеты и направление её рисунка. Вернуться туда, откуда начали, не всегда значит закончить целое число собственных поворотов. Правило описывает обкатывание круглого неподвижного края снаружи; переносить его на любой замкнутый путь нельзя.
Если опыт не показывает два поворота
Сначала проверьте, не съехала ли центральная монета. Затем посмотрите на место касания: внешняя монета должна перекатываться по краю, а не двигаться вокруг соседней с произвольным вращением. При скольжении геометрия пути центра уже не определяет, насколько повернулся рисунок.
Не пытайтесь исправить результат дополнительным поворотом пальцев. Начните заново и двигайтесь медленнее. Бумажная стрелка не должна цепляться за край; монеты не должны расходиться или налезать друг на друга.
Для проверки достаточно пройти половину пути. Если стартовали справа, остановитесь слева. За это время стрелка должна успеть перевернуться и вернуться к направлению стрелки на бумаге. Вы увидите один полный поворот до того, как монета завершит обход.
Затем продолжите движение до старта и проследите за вторым поворотом. Если считать возвращения стрелки в исходное направление, а не только посмотреть на неё в конце, оба поворота будут видны.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.