Парадокс Монти Холла: выгодно сменить дверь

Смена двери повышает шанс выигрыша с 1/3 до 2/3, если ведущий знает приз.

В классической задаче Монти Холла смена двери повышает шанс выигрыша с 1/3 до 2/3. Секрет не в самой открытой двери, а в том, что ведущий знает, где приз, и никогда его не показывает.

В статье вы узнаете:

• Какие правила создают задачу Монти Холла
• Почему смена выигрывает в двух случаях из трёх
• Почему после открытия двери шансы не становятся равными
• Как проверить стратегию экспериментом
• При каких изменениях ответ перестаёт быть 2/3

Ответ 2/3 относится к точной модели. Приз заранее случайно спрятан, ведущий знает его место, всегда открывает другую дверь с козой и всегда предлагает перейти к единственной оставшейся закрытой двери.

Ведущий не убирает случайную дверь

За тремя дверями находятся автомобиль и две козы. Игрок выбирает одну дверь, но пока её не открывает. Ведущий знает расположение приза, открывает одну из двух других дверей, обязательно показывает козу и предлагает либо сохранить первый выбор, либо перейти к оставшейся двери.

До действий ведущего выбранная дверь имеет шанс 1/3. Две невыбранные двери вместе имеют шанс 2/3. Затем ведущий удаляет из этой пары заведомо проигрышную дверь. Он не переносит приз и не подбрасывает новую случайность, а показывает информацию, которой заранее располагал.

Первую печатную формулировку задачи опубликовал статистик Стив Селвин в 1975 году. В ней использовались три коробки и ключи от автомобиля; последующее обсуждение закрепило условие, что ведущий знает место ключей [Selvin, 1975].

Имя телевизионного ведущего создаёт яркий сюжет, но математику определяет не декорация. Если человек открывает дверь наугад, может случайно показать автомобиль или предлагает смену не каждый раз, это уже другая модель с другим ответом.

Смена выигрывает всякий раз, когда первый выбор ошибочен

Зафиксируем первый выбор: игрок всегда указывает на дверь 1. Автомобиль с равной вероятностью может стоять за любой из трёх дверей. Этого достаточно, чтобы перечислить все случаи.

Стратегия «остаться» выигрывает только в первой строке, когда игрок сразу угадал автомобиль. Стратегия «сменить» выигрывает во второй и третьей строках, когда первый выбор оказался ошибочным.

Фраза «смена удваивает шанс» сравнивает 2/3 с 1/3. Она не обещает выигрыш в каждой партии. При постоянной смене примерно треть игр всё равно будет проиграна, потому что иногда первая дверь действительно скрывает автомобиль.

Две закрытые двери не обязаны иметь равные шансы

После хода ведущего видно две закрытые двери, поэтому возникает соблазн разделить вероятность пополам. Но одинаковый внешний вид не означает одинаковую историю. Первую дверь выбрал игрок без информации. Вторую сохранил ведущий, который отсеял козу с учётом скрытого приза.

Полезно увеличить игру до ста дверей. Игрок выбирает одну с шансом 1/100. Остальные 99 дверей вместе содержат автомобиль с шансом 99/100. Ведущий открывает 98 коз и оставляет закрытой только одну альтернативу. Трудно поверить, что после такого отбора первый случайный выбор внезапно вырос с 1% до 50%.

Для n дверей логика остаётся прежней, если ведущий открывает n − 2 коз и оставляет одну альтернативу:

В более сложных версиях ведущий может выбирать несколько дверей из большого набора. Калькулятор сочетаний посчитает число возможных наборов открытых дверей, но одного количества недостаточно: для вероятности всё равно нужно знать, как именно ведущий выбирает допустимый набор.

Математик Ричард Гилл показывает, что спор вокруг задачи часто вызван не вычислением, а неполной моделью. Условия о знаниях и поведении ведущего нельзя считать невидимыми подробностями, потому что именно они определяют информацию в его ходе [Gill, 2011].

Вероятность обновляется по способу получения информации. Сообщение «за этой дверью коза» имеет разный смысл, если дверь специально выбрал знающий ведущий или случайно открыл человек, который мог показать приз.

Серия игр делает разницу стратегий видимой

Домашний опыт можно провести с тремя картами. На одной отметьте автомобиль, на двух коз. Перемешайте их рубашкой вверх, всегда выбирайте первую позицию, затем попросите ведущего открыть козу среди остальных и запишите, выиграла бы смена.

Для цифровой версии используйте генератор случайных чисел: пусть 1, 2 или 3 обозначает дверь с автомобилем, а первым выбором всегда остаётся дверь 1. Если выпала 1, выигрывает сохранение. Если выпала 2 или 3, выигрывает смена. Так ведущего даже не нужно моделировать отдельно.

Другой вариант даёт случайный выбор из списка. Добавьте три строки с названиями дверей, выбирайте одну с повторами и сравнивайте результат с заранее фиксированной первой дверью. Повторы обязательны: каждая новая партия должна снова разрешать любое положение автомобиля.

За три игры соотношение может оказаться любым. Даже десять партий легко заканчиваются счётом 5:5. Стратегии нужно сравнивать на длинной серии, например из 300 или 3000 независимых игр. Тогда доля побед при сохранении обычно собирается около 1/3, а при смене около 2/3.

Симуляция не создаёт доказательство вместо таблицы. Она помогает проверить, правильно ли поняты правила, и почувствовать разброс конечной серии. Три строки перечисляют все возможные положения приза и дают точный ответ, а эксперимент показывает, как этот ответ проявляется не сразу.

Если ведущий меняет поведение, меняется и ответ

Ведущий открывает дверь наугад. Он не знает, где автомобиль, и иногда показывает его. Если случайно открылась коза, у первой и оставшейся дверей в такой модели по 1/2. Сам факт удачного открытия уже отфильтровал партии иначе, чем в классической задаче.

Ведущий предлагает смену не всегда. Например, он может особенно часто делать предложение после правильного первого выбора. Тогда само предложение несёт дополнительную информацию. Без правила поведения нельзя получить единственную условную вероятность.

Приз расположен неравновероятно. Если автомобиль заранее чаще ставят за определённой дверью и игрок это знает, начальные шансы уже не равны 1/3. Стратегия должна учитывать новые вероятности, а не только число дверей.

После открытия остаётся несколько альтернатив. В игре со ста дверями преимущество 99/100 переходит к одной двери только потому, что ведущий открыл остальные 98. Если закрытыми остаются десять дверей, общий шанс распределяется между ними по правилам выбора ведущего.

Поэтому хороший ответ на задачу начинается с условий, а не с дроби. В классической версии первая дверь сохраняет исходные 1/3, постоянная смена выигрывает при любой первой ошибке и получает 2/3. В другой игре похожие двери могут привести к другому результату.

Главный урок Монти Холла шире телевизионного конкурса: информация ценна не только содержанием, но и процедурой отбора. Когда наблюдение специально выбрал человек, знающий скрытый результат, нельзя считать его обычным случайным исчезновением одного варианта.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.