Как погрешность размера меняет площадь и объём

Ошибка радиуса около 1% даёт примерно 2% ошибки площади и 3% объёма. Сравниваем точный итог и оценку. Проверяем размеры тел и фигур.

Евгений Буянов - автор статьи, основатель проекта, преподаватель МГУ имени М.В. Ломоносова.

Как погрешность размера меняет площадь и объём

Дальше вы увидите точную разницу для ошибок от −10% до +10%, поймёте границы правила «в два или три раза» и отделите неопределённость измерения от красивого количества знаков после запятой.

В статье вы узнаете:

Квадрат удваивает малую ошибку, куб утраивает

Возьмём круг радиусом r. Его площадь равна πr2. Если измеренный радиус отличается от исходного на относительную долю e, вместо r в формулу попадает r(1 + e). Для ошибки +1% значение e равно 0,01, для ошибки −1% равно −0,01.

Подставим изменённый радиус в формулу площади:

S′=π[r(1+e)]2=S(1+e)2\displaystyle S'=\pi[r(1+e)]^2=S(1+e)^2

Значит, относительное изменение площади равно:

S′−SS=(1+e)2−1=2e+e2\displaystyle \frac{S'-S}{S}=(1+e)^2-1=2e+e^2

Первое слагаемое 2e создаёт знакомое правило: 1% ошибки радиуса даёт примерно 2% ошибки площади. Второе слагаемое e2 объясняет, почему слово «примерно» обязательно. При +1% точный рост составляет 2,01%, при +10% уже 21%, а не 20%.

Проверить масштаб площади по радиусу или диаметру можно в калькуляторе площади круга. Он применяет формулу к введённому числу, но не исправляет неточный замер. На странице π принято равным 3,14, а результат округляется до сотых, поэтому инструмент подходит для быстрой проверки масштаба, а не для метрологического отчёта. Если штангенциркуль, рулетка или человек дали неверный радиус, аккуратные цифры на экране лишь аккуратно возведут эту ошибку в квадрат.

Для шара объём равен 4πr3/3, поэтому радиус входит уже в третьей степени:

V′−VV=(1+e)3−1=3e+3e2+e3\displaystyle \frac{V'-V}{V}=(1+e)^3-1=3e+3e^2+e^3

Малая ошибка радиуса усиливается примерно втрое. Радиус больше на 1% даёт объём больше на 3,0301%. Тот же механизм работает у любых геометрически подобных объектов: при масштабировании всех длин в k раз площадь меняется в k2 раз, объём в k3 раз.

Плюс и минус одного размера не симметричны

Кажется, что +10% и −10% должны менять площадь или объём на одинаковую величину в разные стороны. Степень ломает эту симметрию. Квадрат 1,1 равен 1,21, а квадрат 0,9 равен 0,81. Площадь растёт на 21%, но уменьшается только на 19%.

Точное изменение площади и объёма при ошибке одного размера
Ошибка размера eИзменение площадиИзменение объёма
−10%−19%−27,1%
−5%−9,75%−14,2625%
−1%−1,99%−2,9701%
+1%+2,01%+3,0301%
+5%+10,25%+15,7625%
+10%+21%+33,1%

Разница создаётся дополнительными членами. У площади это всегда положительное e2. У объёма есть 3e2 и e3. Поэтому положительная ошибка даёт прибавку чуть больше 2e или 3e, а отрицательная ошибка уменьшает результат чуть меньше по модулю.

Асимметрия важна, когда из допуска размера пытаются получить симметричный допуск площади или объёма. Деталь с радиусом 100 ± 10 мм допускает значения от 90 до 110 мм. Площадь при этом меняется от 81% до 121% номинала, а объём шара от 72,9% до 133,1%. Запись «объём ±30%» удобна для черновика, но она обрезает разные хвосты диапазона.

Это же объясняет, почему последовательные +10% и −10% не возвращают исходное значение. Общий линейный коэффициент равен 1,1 × 0,9 = 0,99. Размер становится на 1% меньше исходного, площадь примерно на 1,99% меньше, объём примерно на 2,9701% меньше. Проценты применялись к разным базам.

Если нужен объём конкретного сферического предмета, калькулятор объёма шара посчитает его по радиусу или диаметру. Для диапазона сначала подставьте нижнюю границу размера, затем верхнюю. Два расчёта честнее одного среднего значения с симметричным процентом, которого у степенной зависимости нет.

При 1% приближение удобно, при 10% уже грубо

Правила 2e для площади и 3e для объёма получаются, если отбросить квадраты и кубы малой величины. Это линейное приближение: оно заменяет кривую зависимость касательной рядом с точкой e = 0. Чем дальше от нуля, тем заметнее кривизна.

При ошибке +1% приближение даёт +2% площади вместо точных +2,01%. Разница составляет 0,01 процентного пункта. Для объёма оно даёт +3% вместо +3,0301%, разница равна 0,0301 процентного пункта. В большинстве бытовых измерений эти добавки меньше остальных источников неопределённости.

При +5% площадь меняется на 10,25%, а не на 10%. Объём меняется на 15,7625%, а не на 15%. Черновая оценка остаётся полезной: она сразу показывает масштаб усиления. Но для допуска, сметы материала или сравнения с техническим пределом лучше использовать точное выражение.

При +10% расхождение уже трудно прятать в округлении. Площадь растёт на 21% против приближённых 20%, объём на 33,1% против 30%. Для отрицательных 10% точные значения составляют −19% и −27,1%. Здесь сначала считать «в два или три раза», а затем выдавать результат как точный означает потерять именно ту нелинейность, ради которой появилась задача.

Общий ориентир простой. Около 1% линейное правило обычно годится для оценки в уме. Около 5% стоит посмотреть, насколько важны десятые доли процента. При 10% и выше используйте точную степень. Граница зависит не от красоты числа, а от решения: для приблизительной покупки песка допустима одна точность, для посадки детали или дозирования материала другая.

Международное руководство JCGM по неопределённости измерений строит распространение малых изменений на разложении первого порядка и отдельно предупреждает: при заметной нелинейности нужны члены более высокого порядка. [JCGM 100:2008, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement]

У цилиндра радиус весит вдвое больше высоты

У шара весь объём зависит от одного радиуса. У цилиндра есть два измеряемых размера: радиус r и высота h. Объём равен πr2h. Если относительные отклонения радиуса и высоты равны er и eh, точное изменение объёма задаёт произведение:

V′−VV=(1+er)2(1+eh)−1\displaystyle \frac{V'-V}{V}=(1+e_r)^2(1+e_h)-1

Для малых известных отклонений раскрытие скобок можно сократить до первого порядка:

ΔVV≈2er+eh\displaystyle \frac{\Delta V}{V}\approx 2e_r+e_h

Коэффициент 2 перед ошибкой радиуса появляется из квадрата. Если радиус завышен на 1%, а высота завышена на 1%, объём завышен примерно на 3%. Точное значение равно 1,013 − 1 = 3,0301%. Если радиус завышен на 1%, а высота занижена на 1%, линейные части почти компенсируются: 2% − 1% = 1%. Точный рост составляет 1,012 × 0,99 − 1 = 0,9899%.

Здесь нужно разделить известное смещение и случайную неопределённость. Формула 2er + eh складывает подписанные малые отклонения. Для наихудшего допуска складывают их модули: примерно 2|er| + |eh|. Но независимые стандартные неопределённости не обязаны одновременно попасть в худшую сторону. По правилу распространения их объединяют квадратично:

uVV≈(2urr)2+(uhh)2\displaystyle \frac{u_V}{V}\approx\sqrt{\left(2\frac{u_r}{r}\right)^2+\left(\frac{u_h}{h}\right)^2}

ur и uh обозначают стандартные неопределённости радиуса и высоты. Формула предполагает, что они не коррелированы. Если оба размера сняты одним растянутым инструментом, общая систематическая ошибка может связывать их, и простое сложение квадратов уже не описывает весь процесс.

Калькулятор объёма цилиндра позволяет быстро подставить номинальные размеры и обе границы. Это особенно полезно для бака или трубы: ошибка диаметра входит в квадрате, а ошибка длины только в первой степени. Сначала улучшайте измерение диаметра, если его относительная неопределённость сопоставима с неопределённостью длины.

Неопределённость измерения не равна округлению ответа

В бытовой речи словом «погрешность» называют всё подряд: цену деления рулетки, разброс повторов, смещение инструмента и разницу между точным и округлённым числом. Для расчёта полезно развести хотя бы два слоя.

Неопределённость измерения описывает, насколько широкий набор значений разумно приписать измеряемой величине с учётом инструмента, метода, повторяемости и условий. Истинное значение обычно неизвестно, иначе измерять его не пришлось бы. Поэтому запись 100,0 ± 0,5 мм сообщает больше, чем один результат 100,0 мм.

Округление отображения сокращает запись уже полученного числа. Калькулятор может показать 314,1593 см² или 314,16 см². Второй вариант короче, но округление не уменьшило неопределённость радиуса. Если радиус известен лишь как 10,0 ± 0,1 см, дополнительные знаки площади не превращаются в дополнительные знания об объекте.

Предположим, радиус записан как 10,0 см с возможным отклонением ±0,1 см. Это ±1%. Площадь по центральному значению равна примерно 314,16 см², но границы, полученные из 9,9 и 10,1 см, равны примерно 307,91 и 320,47 см². Здесь π не округлялось заранее; калькулятор со значением 3,14 покажет немного другие сотые. Вывод «314,159265 см²» выглядит точнее исходного измерения и прячет диапазон около шести квадратных сантиметров в каждую сторону.

Количество знаков после запятой не является автоматической характеристикой прибора. Рулетка может давать миллиметровую разметку, но мягкий край, перекос и натяжение добавят больше миллиметра. И наоборот, серия аккуратных измерений хорошим инструментом позволяет оценить разброс лучше одной случайной отметки.

В техническом отчёте NIST площадь проекции заменяют площадью равного квадрата A = s2 и для малой неопределённости стороны используют относительную оценку δA/A ≈ 2δs/s. Там же числовой результат связывают с неопределённостью реального измерения края изображения, а не с количеством цифр в формуле. [NISTIR 6657, измерение площади проекции]

Калькулятор не измеряет предмет. Он устраняет арифметическую ошибку при подстановке и сохраняет заданную формулу. Качество результата всё равно ограничивают входные размеры, выбранная модель и способ округления.

Считайте границы тем же способом, что и центр

Для практической задачи начните с измеряемых размеров и степеней, с которыми они входят в формулу. Радиус круга имеет степень 2, радиус шара степень 3, радиус цилиндра степень 2, а его высота степень 1. Уже эта запись показывает, какой вход сильнее двигает результат.

Затем определите, что именно известно. Если есть номинальный размер и явный допуск, подставьте нижнюю и верхнюю границы в полную формулу. Если есть малые известные смещения, используйте коэффициенты чувствительности вроде 2er + eh. Если даны независимые стандартные неопределённости, объединяйте их квадратично, а не складывайте все максимумы как будто они обязаны наступить одновременно.

Проверьте приближение точным расчётом хотя бы один раз. Для 1% разница обычно мала. Для 10% квадратные и кубические члены уже меняют решение. На телефоне проще дважды открыть тот же калькулятор с нижней и верхней границами, чем держать в голове асимметричные поправки.

Округляйте в конце и не показывайте больше точности, чем поддерживают измерения. Это не требует обязательно удалять все десятые. Иногда дополнительный знак удобен в промежуточном расчёте, чтобы округления не накопились. Но итоговая запись должна сообщать реальную различимость результата, а при важном решении ещё и диапазон.

Главный вывод: формула не создаёт погрешность, она меняет её масштаб. Степень 2 примерно удваивает малое относительное отклонение, степень 3 примерно утраивает, несколько размеров вносят каждый свой вклад. Сначала измерьте входы настолько хорошо, насколько требует решение, затем посчитайте центр и границы. Иначе можно получить шесть знаков после запятой у ответа, который уже ошибся на первом миллиметре.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

ГлавнаяЖурнал расчётовКак погрешность размера меняет площадь и объём