Самого большого натурального числа нет. Но это не делает гуголплекс, число Грэма или число Райо бессмысленными: каждое отвечает на свой вопрос и показывает новый способ говорить о величине. Давайте разберёмся, что именно делает их огромными, кто придумал названия и можно ли честно выбрать победителя.
Начнём с разницы между числом и его записью. Затем сравним гугол, чьи цифры ещё помещаются на бумаге, гуголплекс, который удобнее задавать формулой, и число Грэма, возникшее как граница в доказательстве. После этого разберём необычные правила TREE(3) и числа Райо. В конце вернёмся к вопросу из заголовка, не потеряв смысл всей истории.
В статье вы узнаете:
Представьте, что вам показали две записи: «1000» и «10³». Первая длиннее, но числа равны. А запись «10¹⁰⁰» совсем короткая, хотя обозначает число со 101 цифрой. Поэтому длина записи и величина числа не одно и то же. Можно сравнивать сами числа, количество их десятичных цифр или то, насколько короткое правило их задаёт. Это три разных соревнования.
Например, у 10⁶ после единицы шесть нулей, а у 10¹⁰⁰ их сто. Второе число больше не потому, что его название внушительнее, а потому, что в десятичной записи оно ставит единицу намного левее. У числа 10ⁿ, где n целое положительное, n нулей и n + 1 цифра. Это правило позволит проверить первые два «рекорда» без догадок.
Теперь ещё одно различие. Число может быть точно определено, хотя мы никогда не выпишем все его цифры. «Десять в сотой степени» указывает одно-единственное число. «Какое-нибудь очень большое» не указывает никакого конкретного числа. В нашей истории выиграют не длиннейшие записи, а способы дать огромному числу короткий и недвусмысленный адрес.
Попробуйте перед следующим разделом мысленно ответить на два вопроса: сколько цифр у 10⁶ и можно ли считать бесконечностью число, которое слишком долго записывать? Первый ответ равен семи. Со вторым пока не спешите: люди, придумавшие гугол, как раз хотели провести эту границу.
Гугол равен 10¹⁰⁰: единица и сто нулей, всего 101 цифра. Такое число можно целиком выписать на бумаге. Его название придумал Милтон Сиротта, девятилетний племянник американского математика Эдварда Казнера. Казнер попросил придумать имя для заранее выбранного им числа с сотней нулей. Здесь важно разделить роли: взрослый поставил математический вопрос, ребёнок предложил слово.
Эта история хороша не только забавным названием. Гугол показывает, что «очень много» и «бесконечно» различаются принципиально. Каким бы непривычным ни казалось число с сотней нулей, у него есть конечная запись. Его можно увеличить в десять раз, возвести в квадрат или сравнить с соседним числом. А у ряда натуральных чисел нет последнего члена.
Эдвард Казнер (1878–1955) был математиком и автором научно-популярной книги «Математика и воображение», написанной вместе с Джеймсом Ньюманом. Именно эта книга познакомила широкую публику с двумя названиями, предложенными его племянником.
На фото Казнер; названия придумал его племянник Милтон Сиротта. Фото: Popular Science Monthly, 1907. Источник фотографии.
Не путайте «гугол» с Google. Основатели поисковика хотели отослать к математическому слову googol как намёку на огромный объём информации. При проверке домена это слово случайно написали как google, и такое написание закрепилось. Формула 10¹⁰⁰ появилась задолго до компании.
Милтон предложил и слово «гуголплекс». Первоначальная детская идея состояла в том, чтобы написать единицу, а затем дописывать нули до усталости. Но один человек устанет через минуту, другой через час, поэтому такое описание не задаёт одного числа. Казнер закрепил точное правило: гуголплекс равен 10^(10¹⁰⁰), то есть десятке в степени гугол. После единицы стоит гугол нулей, а всего цифр гугол плюс одна.
Давайте проверим механизм на меньшем числе. У 10³ три нуля и четыре цифры: 1000. У 10^(10³) показатель уже равен 1000, поэтому после единицы тысяча нулей и всего 1001 цифра. Мы не меняли основание 10 и не придумали новую арифметику. Просто в показатель степени подставили число, которое само было степенью. Гуголплекс устроен точно так же, только его показатель равен 10¹⁰⁰.
Скобки здесь решают всё. 10^(10¹⁰⁰) не равно (10¹⁰)¹⁰⁰. Во втором выражении показатели перемножаются: получается 10¹⁰⁰⁰, единица с тысячей нулей. Это много, но всё число поместится примерно на нескольких страницах. В гуголплексе нулей уже 10¹⁰⁰. Если записывать по одной цифре в секунду, одни только нули потребовали бы 10¹⁰⁰ секунд. Число секунд тоже конечно, но это не практически выполнимая работа.
Вот первая важная остановка в нашем исследовании: длину записи можно знать точно, даже когда запись нельзя получить физически. Гуголплекс определён совершенно однозначно. Он не равен бесконечности и не становится самым большим числом только из-за того, что наша ручка и жизнь имеют предел.
Гуголплекс вырос из вопроса «как назвать огромное, но конечное число?». У числа Грэма другая биография: оно появилось как граница в математическом доказательстве. Чтобы увидеть, зачем нужна такая граница, сначала сыграем в простую игру о неизбежных узорах.
Пусть в комнате шесть человек. Соединим каждую пару линией: красной, если люди знакомы, синей, если незнакомы. Сколько бы мы ни выбирали цвета, найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. Это не психологическое наблюдение, а математический факт о двухцветных связях. Раскраска может выглядеть случайной, но небольшой одноцветный узор всё равно появится.
Можно даже проверить идею без перебора всех картинок. Выберите одного человека. От него идут пять линий к остальным, и хотя бы три из них одного цвета: красные или синие. Пусть для примера красные. Если среди тех троих есть красная линия, она вместе с двумя линиями от первого человека образует красный треугольник. Если красных линий между ними нет, все трое соединены синими и образуют синий треугольник. В синем начальном случае рассуждение такое же, только цвета меняются местами.
Это пример теории Рамсея: в достаточно большой системе порядок определённого вида становится неизбежным. Настоящая задача, связанная с именем Грэма, гораздо сложнее этой игры. Там раскрашивают связи между вершинами многомерного куба и ищут особый одноцветный рисунок. Но смысл вопроса похож: сколько измерений заведомо достаточно, чтобы рисунок уже нельзя было избежать? Не нужно представлять куб с миллионом направлений глазами; для доказательства его можно задать формулами.
Рональд Грэм (1935–2020) был американским математиком, работал в Bell Labs и позже преподавал в Калифорнийском университете в Сан-Диего. Он изучал закономерности в сложных сетях и умел объяснять математику через игры; ещё мастерски жонглировал. Но число названо его именем не из-за яркой биографии: оно связано с его работой над конкретной задачей о неизбежном одноцветном узоре.
Фото: Cheryl Graham, 1998, CC BY 3.0; изображение уменьшено. Источник и лицензия.
Для этой границы обычных степеней оказалось мало. Начнём с тройки: 3³ = 27. Затем поставим ещё одну тройку наверх: 3^(3³) = 3²⁷ = 7 625 597 484 987. Три тройки уже дали примерно семь с половиной триллионов. Скобки читаются сверху вниз: 3^(3³) и (3³)³ не одно и то же. Если продолжать ставить тройки друг на друга, вырастет башня степеней.
Для таких башен математики используют стрелки Кнута. Одна стрелка означает обычную степень: 3↑3 = 3³. Две стрелки дают повторяющуюся башню: 3↑↑3 = 3^(3³), а 3↑↑4 = 3^(3^(3³)). Три стрелки повторяют операцию с двумя стрелками, четыре повторяют операцию с тремя. Новая стрелка ускоряет рост не добавлением одной цифры, а сменой самого правила построения.
Число Грэма не просто башня с известным числом этажей. Первый этап записывают как 3↑↑↑↑3. Эта запись даёт обычное целое число, хотя и чудовищно большое. Его берут как количество стрелок между тройками на втором этапе. На каждом следующем число стрелок равно результату предыдущего, и так до 64-го этапа. Читателю не нужно вычислять даже первый результат: важно увидеть, что на каждом шаге правило остаётся точным, а число конечным. Так можно дать имя числу, для которого десятичная запись бесполезна.
Почему математик согласился на столь чудовищную границу? Ему нужно было доказать, что число измерений, после которого узор неизбежен, существует и не превосходит некоторого конечного предела. Для этого верхняя оценка полезна, даже если она очень далека от точного ответа. В нашей игре с людьми мы знаем красивое число шесть. В задаче Грэма доказательство давало гигантский потолок, но не говорило, что узор впервые возникает именно на этой высоте. Путать потолок с точным этажом нельзя.
Так появляется второй смысл большого числа. Гугол и гуголплекс помогали объяснить разницу между конечным и бесконечным; число Грэма ограничивало поиск в математической задаче. Величина сама по себе ещё не делает число полезным. Полезным его делает вопрос, на который оно отвечает.
Следующий пример вырос из задачи о деревьях. Здесь дерево не растение, а схема из точек и линий без замкнутых кругов: точка может иметь ветви, а у всей схемы есть начало, или корень. Каждую точку помечают одним из трёх цветов. На ходе № 1 разрешена максимум одна точка, на ходе № 2 максимум две, и вообще на ходе № k максимум k точек. Есть ещё запрет: нельзя выбрать новое дерево, в которое можно вложить хотя бы одно из предыдущих с сохранением цветов и структуры ветвления. Точное математическое значение слова «вложить» сложнее, но пример с одной точкой показывает правило без этой тонкости.
Сделаем три хода: сначала одна красная точка, затем одна синяя, потом одна зелёная. Это допустимые деревья: прежний цвет ни разу не встретился в новом. А вот четвёртого хода после именно такой партии не будет. В любом новом непустом дереве найдётся точка одного из трёх цветов, и соответствующее одноточечное дерево из первых трёх ходов уже в него вкладывается. Это пример короткой партии, а не ответ TREE(3): другие, хитрее подобранные деревья позволяют играть несравнимо дольше.
Игра звучит так, будто можно бесконечно изобретать новые формы. Но математическая теорема говорит: при полном строгом определении вложения бесконечной последовательности не получится. Значит, существует конечная наибольшая длина партии. Это число называют TREE(3): тройка указывает число доступных меток, или цветов, а не число деревьев и не число цифр в ответе.
Обратите внимание на неожиданный момент. Разрешённое количество точек растёт на каждом ходе. Нельзя сказать: «деревьев мало, они когда-нибудь закончатся», ведь формы всё время могут усложняться. Конечность TREE(3) вытекает из глубокой теоремы о том, что в достаточно длинном ряду конечных помеченных деревьев более раннее в конце концов вложится в более позднее. Именно поэтому простая на вид игра интересна исследователям.
Потрясает именно разрыв между коротким правилом и максимальной длиной игры. Автор этой конструкции, математик Харви Фридман, показал, что TREE(3) больше числа Грэма. Ни одна картинка из трёх деревьев не объяснит величину ответа: рисунок может показать запрет на повторение узора, но не вместить всю предельную последовательность.
Здесь легко сделать две ошибки. TREE(3) не обозначает бесконечность: теорема как раз утверждает, что партия обязательно закончится. И это не размер одного чудовищного дерева, а предел количества ходов при строгих правилах. Число Грэма и TREE(3) сравнимы как обычные конечные натуральные числа; просто их десятичные записи не помогают человеку увидеть результат сравнения.
Сравнение TREE(3) с числом Грэма учит ещё одному: привычная башня степеней не является универсальным способом получить крупнейшее число. Иногда короткое правило игры растит предел быстрее, чем кажется по его длине. Но надпись TREE(3) не раскрывает цифры результата; она сообщает, по какому испытанию этот результат определён.
В 2007 году философы Агустин Райо и Адам Элга устроили в MIT дуэль: кто сумеет назвать большее конечное число. Простое «число соперника плюс один» они считали неспортивным ходом. Для выражений вводились правила, в частности нельзя было без объяснения пользоваться фразами вроде «самое большое когда-либо названное число».
Финальный ход Райо использовал не новую арифметическую кнопку, а идею ограниченного языка. В упрощённом пересказе: возьмём строго заданный язык теории множеств и все конечные числа, которые можно однозначно описать выражением не более чем из гугола символов. Таких выражений конечное количество, а значит, и названных ими чисел конечное количество: среди них есть наибольшее. Теперь возьмём наименьшее натуральное число, большее каждого из них. Это и есть идея числа Райо.
А как оно соотносится с героями выше? Определения числа Грэма и TREE(3) можно выразить на выбранном формальном языке гораздо короче гугола символов. Поэтому по правилу этой дуэли число Райо больше обоих. Это вывод из условия, а не объявление абсолютного победителя: уже число Райо + 1 больше числа Райо.
Почему это не обман с фразой «самое большое названное число»? Потому что в настоящем определении Райо задал формальный язык, длину записи и способ понимать выражения без такого расплывчатого оборота. Условия здесь не мелкий шрифт, а сама конструкция. В собственном рассказе о дуэли Райо также объясняет, что более выразительный язык позволяет назвать число ещё больше его победного результата. Дуэль закончилась, а числа не закончились.
Без точного языка тут возникает ловушка. Фраза «самое маленькое число, которое нельзя назвать короткой фразой» сама выглядит короткой и будто бы называет запрещённое число. Это не чудо, а признак нестрогих правил слова «назвать». В обычном пересказе мы пользуемся этим словом, чтобы объяснить идею. Для настоящего хода Райо использовал более сильный формальный язык второго порядка, который позволял выразить её без запрещённого слова и соблюсти правила дуэли. Стоит смешать язык объяснения с языком состязания, и вместо рекорда выйдет путаница.
Можно понять ловушку через школьный турнир. Если каждому участнику разрешили не более ста знаков на доске, кто-то сумеет описать самое большое число в рамках этих ста знаков. Но судья, не ограниченный теми же знаками, может сказать: «прибавьте один». Или изменить язык, разрешив новый знак с уже определённым правилом. Приз в турнире существует; абсолютного чемпиона натуральных чисел по-прежнему нет.
Кажется, что можно закончить спор знаком ∞: он ведь «больше всего». Но в привычной школьной арифметике ∞ не является очередным натуральным числом после гигантского N. Натуральные числа идут 1, 2, 3 и дальше без последнего члена. Слово «бесконечно» описывает отсутствие конца у этого ряда, а не его финальную клетку.
Математики умеют сравнивать и размеры бесконечных множеств. Это другая задача, чем сравнить гуголплекс с числом Грэма. Для любого множества можно собрать множество всех его подмножеств: вариантов будет строго больше, чем элементов исходного множества. Для трёх предметов это видно руками: подмножеств восемь, включая пустое и полное. Теорема Кантора утверждает, что разрыв сохраняется и для бесконечных множеств. Поэтому даже в разговоре о размерах бесконечности нет последнего, самого большого размера.
Не нужно смешивать два утверждения. У натуральных чисел нет наибольшего элемента из-за шага N + 1. У бесконечных размеров нет наибольшего по более глубокой причине, связанной с множеством подмножеств. Оба ответа говорят «последнего нет», но относятся к разным математическим вопросам.
Короткое определение полезно не только для удивления. Иногда можно точно узнать часть результата, даже если полная запись неудобна. Возьмём 2¹⁰⁰. Чтобы найти последнюю цифру, не надо умножать двойку сто раз. Последние цифры последовательных степеней повторяются: 2, 4, 8, 6, затем снова 2, 4, 8, 6. Поскольку 100 делится на 4, сотая степень заканчивается на 6.
Это можно проверить в калькуляторе возведения в степень по модулю: основание 2, показатель 100, модуль 10. Результат 6 означает остаток при делении 2¹⁰⁰ на 10, то есть последнюю десятичную цифру. Калькулятор не обещает вывести все цифры числа Грэма или TREE(3). Его смысл как раз в том, что иногда вопрос о гигантском числе гораздо меньше самого числа.
Для обычных степеней можно начать с научного калькулятора и сравнить 3³ с 3²⁷. Для наглядного удвоения от шага к шагу пригодится калькулятор складывания бумаги: его физическая модель имеет ограничения, но математический механизм роста через степени двойки тот же. Эти инструменты помогают почувствовать старт путешествия; они не превращаются в машину для полной десятичной записи числа Райо.
Для больших чисел полезно выбирать небольшие, но точные вопросы. Сколько цифр у гугола? 101. Сколько нулей у гуголплекса? Гугол. Означает ли число Грэма точный ответ задачи? Нет, это верхняя граница. Можно ли найти последнюю цифру 2¹⁰⁰ без полной записи? Да, она равна 6. Так вместо соревнования в громкости названий появляется понимание того, что мы действительно знаем.
Теперь вернёмся к исходному вопросу. Среди наших примеров при оговорённых правилах число Райо превосходит число Грэма и TREE(3). У TREE(3) есть своё строгое определение и доказательство конечности; число Грэма связано с верхней границей; гугол и гуголплекс помогают увидеть силу степеней. Но ни один из них не закрывает ряд натуральных чисел.
Проверим на школьной доске. Пусть кто-то назвал гигантское, но конечное натуральное число N и даже записал его формулу вместо всех цифр. Число N + 1 тоже натуральное и больше N. Для этого рассуждения не нужно знать количество цифр N. Достаточно, что N определено и конечно. Получается, у конечных натуральных чисел нет самого большого элемента.
Можно поставить ограничение: например, разрешить только десять десятичных цифр. Тогда максимальное допустимое число 9 999 999 999 существует. Но 10 000 000 000 больше него; оно просто не помещается в правила конкурса. То же происходит с ограничением на длину формулы, с выбором языка и со списком известных названий. Победитель внутри правил возможен, абсолютного победителя нет.
Возможно, это и есть главный смысл истории: математика не обязана выписывать число целиком, чтобы узнать о нём что-то точное. Она умеет задавать правила, доказывать границы и замечать, где кончается само правило. Поэтому вопрос «какое самое большое?» полезен, даже если его прямой ответ звучит «такого нет»: он заставляет уточнить, что именно мы сравниваем и зачем.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.