В коробку с доступным дном 60×44 см можно поставить 15 банок диаметром 12 см ровными рядами или 18 со смещением. Для расчёта нужны внутренние размеры коробки, наружный диаметр банки и план размещения. Деление объёмов не учитывает пустоты, а сдвиг рядов помогает не всегда.
По двум простым раскладкам можно проверить, хватит ли выбранной коробки, и заметить, где теряется место: между банками, у стенок или под защитной упаковкой. Начнём с одного слоя одинаковых банок, которые стоят вертикально. Для него достаточно сначала посмотреть на коробку сверху.
В статье вы узнаете:
Измерьте дно изнутри и ширину банки в самом широком месте. Если крышка выступает за стенки банки, считайте по крышке. Если внутри коробки уже есть вкладыши, измеряйте пространство между ними. Для примера зададим доступные размеры 60×44 см и диаметр каждой банки ровно 12 см. Все размеры здесь условные; пока разрешим банкам касаться друг друга и стенок.
Первый ряд пойдёт вдоль стороны 60 см. В него входят пять банок: 60 ÷ 12 = 5. Поперёк коробки можно поставить три таких ряда, потому что 3 × 12 = 36 см, а для четырёх нужны уже 48 см. Получаем 5 × 3 = 15 банок. Вдоль длинной стороны места не осталось, вдоль короткой свободны 8 см.
Эти 8 см не позволяют добавить ещё один ряд: банке нужны все 12 см по ширине. Пустоты между круглыми боками тоже видны, но отдельная банка в них не помещается. Чтобы использовать часть этих промежутков, придётся переставить соседей.
Оставим первый ряд из пяти банок на месте. Во втором расположим банки напротив промежутков первого ряда, сдвинув их на 6 см вправо. Теперь этот ряд можно приблизить к первому. Однако пяти банкам после сдвига потребовалось бы 66 см длины. В коробке 60 см, поэтому во втором ряду остаются четыре банки.
Третий ряд ставим так же, как первый, четвёртый так же, как второй. Получается последовательность 5 + 4 + 5 + 4 = 18 банок. Четыре таких ряда занимают по ширине примерно 43,18 см и проходят в наши 44 см. Откуда взялось это расстояние, посчитаем следом.
Выигрыш появился не бесплатно: во втором и четвёртом рядах мы потеряли по одному месту, зато получили целый дополнительный ряд. Найдена схема на 18 банок вместо 15. Это ещё не доказательство, что другой перестановкой нельзя разместить больше. А перед использованием реальной коробки придётся вернуть в расчёт защиту и зазоры, которые мы пока убрали.
Когда банки стоят ровной сеткой, центр каждой находится прямо над центром банки из предыдущего ряда. Расстояние между рядами центров равно диаметру, то есть 12 см. Если сблизить их ещё, круги на плане наложатся друг на друга, а настоящие банки столкнутся боками.
После сдвига верхняя банка попадает в ложбинку между двумя нижними. Она касается обеих, но её центр уже не находится прямо над нижним. Между центрами двух касающихся банок по-прежнему 12 см, только теперь это расстояние идёт наискосок.
Мысленно проведите от центра нижней банки 6 см вправо, а затем поднимитесь до центра верхней. Эти два отрезка и наклонная линия между центрами образуют прямоугольный треугольник. Его наклонная сторона равна 12 см, горизонтальная равна 6 см. Вертикальная сторона как раз показывает, насколько один ряд центров отстоит от другого.
По теореме Пифагора квадрат наклонной стороны равен сумме квадратов двух остальных. Значит, для вертикальной стороны остаётся 12² − 6² = 108. Искомое расстояние равно √108, то есть примерно 10,392 см. Мы приблизили ряды почти на 1,61 см по сравнению с обычной сеткой.
Чтобы узнать общую ширину раскладки, нельзя просто умножить 10,392 на число рядов. Первый ряд занимает полный диаметр 12 см. Каждый следующий добавляет расстояние между центрами. Для четырёх рядов получается 12 + 3 × 10,392 ≈ 43,18 см. На плане к расстояниям между центрами добавляются ещё два радиуса по краям: от первой стенки до первого центра и от последнего центра до края банки. Вместе они и дают первые 12 см.
Для своего диаметра можно повторить тот же расчёт: взять его половину как горизонтальную сторону треугольника и найти вертикальную. У такой раскладки шаг между рядами составляет примерно 0,866 диаметра. Это ориентир для схемы с касанием и сдвигом ровно на половину диаметра. Округлённый коэффициент не заменяет запас места, если край банки почти совпал со стенкой.
Теперь сохраним банки диаметром 12 см, но возьмём коробку с доступным дном 60×40 см. Она всего на 4 см уже прежней. Обычная сетка не изменилась: пять банок вдоль длинной стороны и три ряда поперёк занимают 60×36 см. По-прежнему помещаются 15 банок.
Попробуем прежнее смещение. Четырём рядам нужны те же 43,18 см, поэтому в 40 см они уже не проходят. Остаются три ряда: пять банок, четыре и снова пять. Получается 5 + 4 + 5 = 14 банок. Эта раскладка занимает по ширине около 32,78 см. Оставшейся полосы всё равно не хватает, чтобы вернуть четвёртый ряд.
В первой коробке сокращение расстояния между рядами дало дополнительный ряд. Во второй коробке этого не случилось, а потеря одной банки в коротком ряду осталась. Поэтому среди этих двух вариантов обычная сетка выигрывает со счётом 15:14.
Так что совет «всегда ставьте в шахматном порядке» ненадёжен. Он не учитывает, где заканчивается коробка. При этом мы проверили только конкретную последовательность 5/4/5 со сдвигом на 6 см. Мы не доказали, что любое другое смещение проиграет сетке, или что 15 является пределом для всех возможных расстановок.
Можно возразить: зачем считать ряды, если известны объём коробки и объём одной банки? Проблема в том, что литры не описывают форму свободного места. Жидкость занимает промежутки между предметами, а жёсткой круглой банке нужен цельный участок подходящего размера.
Для сравнения объёмов дополним первый пример высотой. Пусть и внутреннее пространство коробки, и каждый идеальный цилиндр имеют высоту 12 см. В калькулятор объёма коробки вводим длину 60, ширину 44 и высоту 12 см, количество коробок 1, затем выбираем литры. Получаем 31,68 л. Калькулятор умножает размеры; искать расположение банок он не будет.
В калькуляторе объёма цилиндра выбираем «Диаметр основания и высота» и сантиметры. Диаметр 12 см и высота 12 см дают примерно 1357,17 см³, или 1,357 л. Здесь посчитан наружный идеальный цилиндр. Литры напитка или другой продукции на этикетке для этого сравнения не подходят: они не учитывают стенки, крышку и форму предмета снаружи.
Приводим объёмы к одинаковым единицам: 31 680 см³ делим на 1357,17 см³ и получаем около 23,34. Целая часть равна 23. Но это не ответ «ставьте 23 банки». Мы узнали лишь ограничение по суммарному объёму: больше этого количества в заданную идеальную коробку не войдёт. Где именно разместить эти 23 цилиндра, деление не показывает. Оно также не доказывает, что такое размещение существует.
Для наглядности возьмём узкую коробку с дном 10×30 см и той же высотой 12 см. Её объём 3,6 л больше объёма двух наших цилиндров. Но ни одна банка диаметром 12 см не пройдёт между стенками, расстояние между которыми всего 10 см. Для вертикального положения ширины не хватает, сколько бы свободных литров ни оставалось в длину.
У объёма своя полезная роль: показать общий размер упаковки и отсеять заведомо невозможное количество. А число стоящих в одном слое банок подтверждает план, на котором все круги помещаются внутри границ и не перекрывают друг друга.
Число мест меняется скачком. Пока пять банок занимают ровно 60 см, они проходят в наш условный ряд. Если рабочий наружный диаметр каждой увеличился всего до 12,2 см, для пяти уже нужен 61 см. В ряду остаются четыре банки. Обычная сетка в коробке 60×44 см теперь даёт 4 × 3 = 12 мест вместо 15. Это пример изменения габарита, а не совет оставить запас именно 2 мм.
Поэтому проверьте несколько банок и измерьте каждую в самом широком месте. Диаметром здесь называется расстояние от одного края круглого предмета до другого через центр. Для банки с широкой крышкой нужен размер крышки, для банки в защитной обёртке нужен размер вместе с обёрткой. Если упаковка заметно меняет круглую форму, рисуйте её настоящий контур: модель одинаковых кругов уже не описывает её точно.
Если проще измерить обхват, поможет калькулятор диаметра. В поле «Что известно» выберите «Длина окружности», укажите сантиметры и введите обхват в поле «Известное равно». Например, 37,68 см дают на экране 12,00 см, то есть около 12 см в диаметре. Для плотной укладки перепроверьте ширину напрямую: результат округлён, а расчёт по обхвату не замечает выступающую крышку и не показывает, насколько форма отличается от круга.
У коробки нужны размеры свободного пространства после установки вкладышей и боковых прокладок. Наружные размеры больше внутренних, а защитные слои дополнительно съедают место. Разница подробнее разобрана в статье о внутреннем и внешнем объёме коробки. В нашем примере 60×44 см с самого начала обозначали именно доступное дно, а не размеры снаружи по картону.
Для хрупкого содержимого одной проверки касаний недостаточно. Защитный материал располагают вокруг предметов, и для него нужно место в коробке; это отдельно подчёркивает почтовая служба USPS в рекомендациях по упаковке. [USPS] Толщина и устройство защиты зависят от содержимого и способа перевозки. Геометрическая схема не подсказывает универсальный зазор и не гарантирует, что банки доедут целыми.
Завершите проверку высотой. Банка вместе с крышкой, нижней и верхней защитой должна помещаться под закрытыми клапанами. Если планируете два слоя, добавьте место для межслойной прокладки и отдельно оцените, допустима ли такая нагрузка. Удвоение числа на плане ничего не говорит о прочности банок или коробки.
Начните с прямоугольной сетки. Разделите доступную длину на рабочий диаметр и оставьте целую часть: 4,9 означает четыре предмета, пятый целиком не проходит. Так же найдите число рядов по ширине и перемножьте результаты. Этот расчёт даёт понятный первый вариант, который легко сверить линейкой.
Затем проверьте смещение. Первый ряд остаётся полным, следующий сдвигается на половину диаметра. Посчитайте его заново по доступной длине. Не вычитайте одну банку автоматически: при других размерах по краям может хватить места и для того же количества. Дальше чередуйте два положения и добавляйте ряды, пока их общий размер укладывается в ширину коробки.
Полезно повторить проверку, направив ряды вдоль другой стороны. В нашей коробке 60×44 см ряды вдоль 44 см дают по три банки. При сдвиге для трёх всё ещё хватает места: их общий размах 36 см, а вместе с начальным сдвигом на 6 см получается 42 см. Вдоль стороны 60 см входят пять таких рядов, всего 15 банок. Это меньше, чем 18 в уже найденной раскладке. Поворот схемы нужно проверять, но сам по себе он не обещает прибавки.
Нарисуйте прямоугольник и одинаковые круги в одном масштабе либо вырежьте кружки из бумаги. Каждый должен целиком оставаться внутри, а соседние кружки не должны накладываться. Для выбранной схемы проверьте край последнего ряда по расчёту, чтобы толщина карандашной линии не подарила лишние миллиметры. Затем сделайте пробную раскладку настоящих предметов с предусмотренной защитой.
Сравнение нескольких схем помогает найти рабочий вариант, но не перебирает все возможные перестановки. Даже в математических исследованиях упаковки кругов регулярные ряды не всегда дают лучшее решение. Например, работа Любачевского и Грэма рассматривает прямоугольники с меняющимися пропорциями и показывает ограничения таких шаблонов. Она не доказывает максимум для нашей коробки 60×44 см. [Lubachevsky, Graham, 2004]
Для заказа коробки полезен конкретный результат: «эти 18 банок помещаются по такой схеме при таких доступных размерах». К нему можно приложить план и проверить упаковку до покупки партии. Одного числа литров для этого решения недостаточно.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.